最优化方法Python计算：标准型线性规划的轴转操作

标准型线性规划
$$\{\begin{array}{l}\text{minimize}{\mathbf{c}}^{\top }\mathbf{x}\\ \text{s.t.}\mathbf{Ax}=\mathbf{b}\\ \mathbf{x}\ge \mathbf{o}\end{array}(1)$$
其中，$\mathbf{c}$、$\mathbf{x}\in {\text{R}}^n$，$\mathbf{A}\in {\text{R}}^{m\times n}$，$m\le n$且rank$\mathbf{A}=m$，$\mathbf{b}\in {\text{R}}^m$且$\mathbf{b}\ge \mathbf{o}$。设$\mathbf{A}=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)$。$\mathbf{B}$由$\mathbf{A}$中$m$个线性无关列向量构成，满足${\mathbf{B}}^{-1}\mathbf{b}\ge \mathbf{b}$，称为标准型线性规划(1)的一个基矩阵，其列向量下标集记为$B_{ind}$。$\mathbf{A}$中去掉$\mathbf{B}$剩下部分记为$\mathbf{N}$，称为(1)的对应$\mathbf{B}$的非基矩阵，其列向量下标集记为$N_{ind}$。于是线性方程组$\mathbf{Ax}=\mathbf{b}$可写为$(\mathbf{B},\mathbf{N})\left(\begin{array}{c}{\mathbf{x}}_{\mathbf{B}}\\ {\mathbf{x}}_{\mathbf{N}}\end{array}\right)=\mathbf{b}$，即
$$\mathbf{B}{\mathbf{x}}_{\mathbf{B}}+\mathbf{N}{\mathbf{x}}_{\mathbf{N}}=\mathbf{b},$$
亦即
$${\mathbf{x}}_{\mathbf{B}}={\mathbf{B}}^{-1}\mathbf{b}-{\mathbf{B}}^{-1}\mathbf{N}{\mathbf{x}}_{\mathbf{N}}.$$
令自由未知量${\mathbf{x}}_{\mathbf{N}}=\mathbf{o}$得到$\mathbf{Ax}=\mathbf{b}$的解${\mathbf{x}}_0=\left(\begin{array}{c}{\mathbf{x}}_{\mathbf{B}}\\ {\mathbf{x}}_{\mathbf{N}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\mathbf{B}}^{-1}\mathbf{b}\\ \mathbf{o}\end{array}\right)$称为问题(1)的一个初始基本可行解。对初始基本可行解，对应的目标函数值$f({\mathbf{x}}_0)={\mathbf{c}}^{\top }{\mathbf{x}}_0={\mathbf{c}}_{\mathbf{B}}^{\top }{\mathbf{x}}_{\mathbf{B}}+{\mathbf{c}}_{\mathbf{N}}^{\top }{\mathbf{x}}_{\mathbf{N}}={\mathbf{c}}_{\mathbf{B}}^{\top }{\mathbf{x}}_{\mathbf{B}}={\mathbf{c}}_{\mathbf{B}}^{\top }{\mathbf{B}}^{-1}\mathbf{b}$。对任意的${\mathbf{x}}_{\mathbf{N}}\ge \mathbf{o}$，$\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}{\mathbf{x}}_{\mathbf{B}}\\ {\mathbf{x}}_{\mathbf{N}}\end{array}\right)$，考虑目标函数
f ( x ) = c ⊤ x = c B ⊤ x B + c N ⊤ x N = c B ⊤ ( B − 1 b − B − 1 N x N ) + c N ⊤ x N = c B ⊤ B −