主成成分分析简介

最新推荐文章于 2024-12-01 21:51:56 发布

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分类专栏： Math

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主成成分分析（PCA）是一种数据降维方法，通过线性组合原变量形成新的不相关主成分，最大化保留信息。PCA的主要任务包括确定主成分的表达式和计算主成分载荷。它用于降低数据维度、揭示变量间关系、图形表示高维数据、构建回归模型和筛选回归变量。协方差矩阵和相关系数矩阵在PCA中起到关键作用，皮尔逊积差系数衡量变量间的线性关系。

1.背景

在sift特征之后，有一种PCA-sift的特征提取，其基本原理和步骤和sift是基本一样的，只是在特征子描述方面，由sift的128维特征描述，利用主成成分分析的方法，降为了36维的特征描述子。下面就简单介绍一些主成成分分析的相关信息。

2.基本原理

主成分分析是数学上对数据降维的一种方法。其基本思想是设法将原来众多的具有一定相关性的指标X1，X2，…，XP（比如p个指标），重新组合成一组较少个数的互不相关的综合指标Fm来代替原来指标。那么综合指标应该如何去提取，使其既能最大程度的反映原变量Xp所代表的信息，又能保证新指标之间保持相互无关（信息不重叠）。

设F1表示原变量的第一个线性组合所形成的主成分指标，即,由数学知识可知，每一个主成分所提取的信息量可用其方差来度量，其方差Var(F1)越大，表示F1包含的信息越多。常常希望第一主成分F1所含的信息量最大，因此在所有的线性组合中选取的F1应该是X1，X2，…，XP的所有线性组合中方差最大的，故称F1为第一主成分。如果第一主成分不足以代表原来p个指标的信息，再考虑选取第二个主成分指标F2，为有效地反映原信息，F1已有的信息就不需要再出现在F2中，即F2与F1要保持独立、不相关，用数学语言表达就是其协方差Cov(F1, F2)=0，所以F2是与F1不相关的X1，X2，…，XP的所有线性组合中方差最大的，故称F2为第二主成分，依此类推构造出的F1、F2、……、Fm为原变量指标X1、X2……XP第一、第二、……、第m个主成分。

根据以上分析得知：

(1)Fi与Fj互不相关，即Cov(Fi，Fj) = 0,并有Var(Fi)=ai’Σai，其中Σ为X的协方差阵。

(2)F1是X1，X2，…，Xp的一切线性组合（系数满足上述要求）中方差最大的,……,即Fm是与F1，F2，……，Fm－1都不相关的X1，X2，…，XP的所有线性组合中方差最大者。

F1，F2，…，Fm（m≤p）为构造的新变量指标，即原变量指标的第一、第二、……、第m个主成分。

由以上分析可见，主成分分析法的主要任务有两点：

（1）确定各主成分Fi（i=1，2，…，m）关于原变量Xj（j=1，2 ，…， p）的表达式，即系数（ i=1，2，…，m； j=1，2 ，…，p）。从数学上可以证明，原变量协方差矩阵的特征根是主成分的方差，所以前m个较大特征根就代表前m个较大的主成分方差值；原变量协方差矩阵前m个较大的特征值（这样选取才能保证主成分的方差依次最大）所对应的特征向量就是相应主成分Fi表达式的系数，为了加以限制，系数启用的是对应的单位化的特征向量，即有= 1。

（2）计算主成分载荷，主成分载荷是反映主成分Fi与原变量Xj之间的相互关联程度：