5人雨天参会，每人带一把伞，入场时随意挂在架子上，离场时每人随意拿走一把。求：

超级大超越

已于 2024-03-31 15:21:09 修改

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文章标签：数学

于 2024-03-31 15:20:20 首次发布

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版权

(1) 每人拿的都不是自己原伞的排列数？

(2) 至少一人拿到自己原伞的概率？

解：

(1) 5人错位排序

$D_{5}=\left | \bar{A_{1}}\cap \bar{A_{2}}\cap \bar{A_{3}}\cap \bar{A_{4}}\cap \bar{A_{5}} \right | =5!\cdot \left ( 1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!} -\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}\right )=44$

(2)

即全排列数减去5人错排的概率，为：

$1-\frac{D_{5}}{5!}\approx 0.632$

或从另一个角度考虑，即5人中最多有四人错排，

其概率为 $\frac{1}{1!}-\frac{1}{2!} +\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}\approx 0.632$

拓展：至少2人拿到自己原伞的概率 $\frac{1}{2!} -\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}$

以此类推……

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