能除尽600的正整数有_个

超级大超越

于 2024-03-17 15:30:41 发布

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文章标签：数学

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将600分解质因数：

$600=2^{3}\times 3\times 5^{2}$

解法一：

根据乘法原理，根据质数的次数，先后取0～3个2、0～2个3、0～2个5，一共是4×2×3=24个。

解法二：

一共有3+1+2=6个质因数，考察从中取r个因数，注意取r个因数与取6-r个因数的情况是一样的，因为设∀取r个因数，令它们的积是A，则取6-r个因数的积正好就是 $\frac{600}{A}$ ，二者是一一对应的关系。

设R(r)为取r个因数时的情况数。按照质因数的种类分组

①当r=0时，有 $R\left ( 0\right )=\left ( \begin{matrix} 3\\0 \end{matrix} \right )=1$ ，则 $R\left ( 6\right )=1$ 。

②当r=1时，根据每组取数的情况不同，有 $R\left ( 1\right )=1+1+1=3$ ，则 $R\left ( 5\right )=3$

③当r=2时，根据每组取数的情况不同，有 $R\left ( 2\right )=3+1+1=5$ ，则 $R\left ( 4\right )=5$

④当r=3时，根据每组取数的情况不同，有 $R\left ( 3\right )=5+1=6$

综上，总数为 $2R\left ( 0\right )+2R\left ( 1\right )+2R\left ( 2\right )+R\left ( 3\right )=24$

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