仿射变换

仿射变换（Affine Transformation或 AffineMap）是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换，它保持了二维图形的“平直性”（即：直线经过变换之后依然是直线）和“平行性”（即：二维图形之间的相对位置关系保持不变，平行线依然是平行线，且直线上点的位置顺序不变）。

仿射变换可以通过一系列的原子变换的复合来实现，包括：平移（Translation）、缩放（Scale）、翻转（Flip）、旋转（Rotation）和剪切（Shear）。

旋转变换，目标图形围绕原点顺时针旋转theta弧度，变换矩阵为：

[ cosθ–sinθ  0]

[ sinθ cosθ  0 ]

[ 0     0     1 ]

平移变换，将每一点移动到(x+t, y+t)，变换矩阵为：

[ 1 0  t ]

[ 0 1  t ]

[ 0 0  1]

缩放变换，将每一点的横坐标放大（缩小）至sx倍，纵坐标放大（缩小）至sy倍，变换矩阵为：

[ sx 0  0 ]

[ 0 sy  0 ]

[ 0  0  1]

旋转变换，目标图形以(x, y)为轴心顺时针旋转theta弧度，变换矩阵为：

[ cosθ  -sinθ x-x*cosθ+y*sinθ ]

[ sinθ  cosθ y-x*sinθ-y*cos θ]

[ 0       0            1      ]

相当于两次平移变换与一次原点旋转变换的复合：

[1 0 -x][cosθ -sinθ  0][1 0 x]

[0 1 -y][sinθ  cosθ  0][0 1y]

[0 0 1][ 0       0     1][0 0 1]

剪切变换，变换矩阵为：

[ 1shx 0 ]

[ shy 10 ]

[ 00 1 ]

相当于一个横向剪切与一个纵向剪切的复合

[ 10 0][ 1 shx 0]

[ shy 10 ][ 0 10 ]

[ 00 1][ 0 01 ]