图像处理中一阶微分的等式证明

预备知识：
泰勒公式：如果函数$f(x)$在含有$x_0$的某个开区间$(a,b)$内有直到$(n+1)$阶的导数，则对任一$x\in(a,b)$，有

$$\begin{equation} f(x) =f(x_0)+f^{'}(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{''}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\ldots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x) \end{equation}$$
其中
$$\begin{equation} R_n(x)= \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \end{equation}$$
这里$\xi$是$x_0$与$x$之间的某个值.

问题：
证明：图像处理中，一阶微分的基本定义是差值，

$$\begin{equation} 、\frac{\partial f}{\partial x}=f(x+1)-f(x) \end{equation}$$

解：

$$\begin{equation} f(x+1) =f(x_0)+f^{'}(x_0)(x+1-x_0)+\frac{f^{''}(x_0)}{2!}(x+1-x_0)^2+\ldots \end{equation}$$
$$\begin{equation} f(x) =f(x_0)+f^{'}(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{''}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\ldots \end{equation}$$
将上面的两个式子进行相减，保留式子的线性项，即可得：
$$\begin{equation} 、\frac{\partial f}{\partial x}=f(x+1)-f(x) \end{equation}$$