3D引擎的基础数学知识

1. 左右手坐标系

   

Unity使用的是左手坐标系，但是它的观察空间使用的是右手坐标系。

                       

           (Unity场景中)                                               （Unity视图空间）

2. 向量（vector）

2.1. 向量和标量（scalar）乘法: 

2.2. 向量加减法: 

2.3. 向量的模（magnitude）

2.4. 向量的点积（dot product）或内积（inner product）

几何意义：

性质：

a. 交换率: 

b. 结合标量乘法: 

c. 结合律:  

d. 点积自身为模的平方: 

2.5. 向量的叉积（cross product）或外积（outer product）

几何意义：两个向量进行叉积会得到一个同时垂直于这两个向量的新向量，向量方向根据左右手法则确定（根据所在的是左手还是右手坐标系）。

性质：

a. 反交换律：

3. 矩阵（matrix）

3.1 与标量相乘

3.2 与矩阵相乘

3.3. 性质

a. 不满足交换率

b. 满足结合律: (AB)C = A(BC)

3.4.1 方块矩阵、方阵（square matrix）

3.4.2 对角矩阵（diagonal matrix）

3.4.3 单位矩阵（identity matrix）

一个特殊的对角矩阵。

3.4 转置矩阵（transposed matrix）

翻转原矩阵，原矩阵第i行变成了第i列，第j列变成了第j行。

性质：

a.

b.

4.5. 逆矩阵（inverse matrix）

不是所有的矩阵都可逆，如果一个方阵的行列式（determinant）不为0，那么它是可逆的。逆矩阵可以做针对于原矩阵的反向变换。

可逆（invertible）、非奇异的（nonsingular）。不可逆（noninvertible）、奇异的（singular）。

性质：

a. 逆矩阵的逆矩阵是原矩阵本身:

b. 单位矩阵的逆矩阵是它本身：

c. 转置矩阵的逆矩阵是逆矩阵的转置：

d.

4.6. 正交矩阵（orthogonal matrix）

如果一个方阵M和它的转置矩阵的乘积是单位矩阵的话，我们就说M是正交的。

性质：

a. 如果一个矩阵是正交的，那么它的转置矩阵和逆矩阵是一样的:

b. 如果一个矩阵是正交的，它的每一行都是单位向量且互相垂直（同样适用于每一列，因为如果M是正交矩阵的话，它的转置也是正交的）。

c. 只包含旋转的变换矩阵是正交矩阵。

4. 变换（transform）

4.1. 线性变换（linear transform）

指那些可以保留矢量加和标量乘的变换，旋转（rotate）、缩放（scale）、错切（shear）、镜像（mirroring、reflection）、正交投影（orthographic projection）等。

平移（translation）不是线性变换。

4.2. 仿射变换（affine transform）

合并线性变换和平移变换的变换类型，需要使用4x4的矩阵来表示，为此，我们需要把矢量扩展到四维空间下，这就是齐次空间坐标（homogeneous space）。

4.3. 常用变换矩阵

平移变换（translation ）

旋转变换（rotate）

放缩变换（scale）

透视变换（perspective projection transformation）

坐标系变换，存在2个空间，P父空间，C子空间，C的3个坐标轴在P下的表示为Xc、Yc和Zc，C的原点在P下的表示为Oc，点A在C下的坐标为Ac（a，b，c）。

如果变换向量，可以用3x3矩阵表示：

再如果Mc-p是正交矩阵，则

5. 法线变换

• 需要用变换顶点的变换矩阵的逆转置矩阵来变换法线，才能确保法线的垂直性。
• 如果变换矩阵是正交矩阵（只包含旋转变换的矩阵是正交矩阵），可以用变换顶点的矩阵变换法线。
• 如果变换只包含旋转和统一缩放，可以使用来变换。