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最新推荐文章于 2025-03-13 11:47:43 发布

寻梦_兰

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- 矩阵的变换

左手坐标系和右手坐标系
向量的加法：两向量首尾相接，结果为不相接的首指向尾
向量的减法：被减的向量反向后再相加
向量的点积：
$u\cdot v=u_{x}v_{x}+u_{y}v_{y}+u_{z}v_{z}=\Vert u\Vert\cdot\Vert v\Vert cos\theta$
当 $u$ 和 $v$ 都是单位向量时，它们的点积为 $cos\theta$
点积的一些有用的特性：
若 $u \cdot v = 0$ ，且 $u$ 或者 $v$ 不为0向量，则 $u\perp v$ ，两个向量正交。
若 $u \cdot v > 0$ ，则两向量之间的夹角小于90°。
若 $u \cdot v < 0$ ，则两向量之间的夹角小于90°。
向量的叉积：
叉积的结果 $p$ 与 $u$ 、 $v$ 彼此正交。 $u \times v = - v \times u$ ，需判断两个向量是否为0或者是否相等
$p=u\times v=[(u_{y}v_{z}-u_{z}v_y),(u_{z}v_{x}-u_{x}v_{z}),(u_{x}v_{y}-u_{y}v_{x})]$
如果使用的左手坐标系，可用左手法则判断叉乘的方向(右手坐标系需用右手法)。左手手指沿着第一个向量向第二个向量的方向弯曲，拇指指向的方向就是这两个向量叉积的方向。
矩阵
一个 $m \times n$ 的矩阵是一个 $m$ 行 $n$ 列的矩形数组。
仅包含单行的矩阵为行向量，仅包含单列的矩阵为列向量。
$\begin{bmatrix} a_{1} & a_{2} \cdots & a_{n}\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots \\ a_{m}\end{bmatrix}$

如果两个向量位数相同且对应的元素也相同，则二者相等A=B、A≠B
标量乘矩阵，结果为用标量与该矩阵的每个元素做乘法后的矩阵。
$x\times\begin{bmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&\cdots&a_{mn} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} (x\times a_{11})&\cdots&(x\times a_{1n})\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ (x\times a_{m1})&\cdots&(x\times a_{mn}) \end{bmatrix}$
两个矩阵只有维数相同时可做加法，结果为对应元素相加得到的矩阵
$\begin {bmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots &\ddots&\vdots\\ a_{m1}&\cdots&a_{mn} \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} b_{11}&\cdots&b_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ b_{m1}&\cdots&b_{mn} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{11}+b_{11})&\cdots&a_{1n}+b_{1n})\\ \vdots &\ddots &\vdots\\ (a_{m1}+b_{m1})&\cdots&(a_{mn}+b_{mn}) \end{bmatrix}$