【数学基础与最优化1.2】线性规划与非线性规划

本文深入探讨了线性规划与非线性规划的基本概念,介绍了线性规划的标准型、增广矩阵及非线性规划的特征。线性规划关注目标函数和约束条件均为线性的情况,而非线性规划则处理更复杂的情形,涉及非线性的目标函数或约束条件。

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线性规划

  在数学中,线性规划(Linear Programming,简称LP)特指目标函数和约束条件皆为线性的最优化问题[1]。
  线性规划是最优化问题中的一个重要领域。很多最优化问题算法都可以分解为线性规划子问题,然后逐一求解。在线性规划的历史发展过程中所衍伸出的诸多概念,建立了最优化理论的核心思维,例如“对偶”、“分解”、“凸集”的重要性及其一般化等。在微观经济学和商业管理领域中,线性规划亦被大量应用于例如降低生产过程的成本等手段,最终提升产值与营收。乔治·丹齐格被认为是线性规划之父[1]。

标准型

  描述线性规划问题的常用和最直观形式是标准型。标准型包括以下三个部分[1]:

一个需要极大化的线性函数,例如
c 1 x 1 + c 2 x 2 c_1 x_1 + c_2 x_2 c1x1+c2x2
以下形式的问题约束,例如:
a 11 x 1 + a 12 x 2 ≤ b 1 a_{11}x_1 + a_{12}x_2 \le b_1 a11x1+a12x2b1
a 21 x 1 + a 22 x 2 ≤ b 2 a_{21}x_1 + a_{22}x_2 \le b_2 a21x1+a22x2b2
a 31 x 1 + a 32 x 2 ≤ b 3 a_{31}x_1 + a_{32}x_2 \le b_3 a31x1+a32x2b3
和非负变量,例如:
x 1 ≥ 0 x_1 \ge 0 x10
x 1 ≥ 0 x_1 \ge 0 x10
线性规划问题通常可以用矩阵形式表达成:
m a x i m i z e c ⃗ T x ⃗ maximize \quad \quad \vec{c}^T\vec{x} maximizec Tx
s u b j e c t t o A x ⃗ ≤ b ⃗ , x ⃗ ≥ 0 subject \quad to \quad \boldsymbol{A}\vec{x} \le \vec{b}, \vec{x} \ge 0 subjecttoAx b ,x 0

  其他类型的问题,例如极小化问题,不同形式的约束问题,和有负变量的问题,都可以改写成其等价问题的标准型。

增广矩阵(松弛型)

  在用单纯型法求解线性规划问题之前,必须先把线性规划问题转换成增广矩阵形式。增广矩阵形式引入非负松弛变量将不等式约束变成等式约束。问题就可以写成以下形式[1]:

$ \left[
\begin{matrix}
1 & -\vec{c}^T & 0 \
0 & \boldsymbol{A} & \boldsymbol{I} \
\end{matrix}
\right]
\left[
\begin{matrix}
Z \
\vec{x} \
\vec{x}_{s} \
\end{matrix}
\right] =
\left[
\begin{matrix}
0 \
\vec{b} \
\end{matrix}
\right]$
这里 x ⃗ s \vec{x}_{s} x s是新引入的松弛变量, Z Z Z是需要极大化的变量。

非线性规划

  在数学中,非线性规划(Nonlinear programming)是求解由一系列未知实函数组成的组方程和不等式(统称为约束)定义的最优化问题,伴随着一个要被最大化或最小化的目标函数,只是一些约束或目标函数是非线性的。它是最优化处理非线性问题的一个子领域[2]。

参考文献

[1] wiki.线性规划
[2] wiki.非线性规划

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