【数学基础与最优化1.2】线性规划与非线性规划

最新推荐文章于 2024-09-21 13:44:24 发布

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本文深入探讨了线性规划与非线性规划的基本概念，介绍了线性规划的标准型、增广矩阵及非线性规划的特征。线性规划关注目标函数和约束条件均为线性的情况，而非线性规划则处理更复杂的情形，涉及非线性的目标函数或约束条件。

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线性规划

在数学中，线性规划（Linear Programming，简称LP）特指目标函数和约束条件皆为线性的最优化问题[1]。
线性规划是最优化问题中的一个重要领域。很多最优化问题算法都可以分解为线性规划子问题，然后逐一求解。在线性规划的历史发展过程中所衍伸出的诸多概念，建立了最优化理论的核心思维，例如“对偶”、“分解”、“凸集”的重要性及其一般化等。在微观经济学和商业管理领域中，线性规划亦被大量应用于例如降低生产过程的成本等手段，最终提升产值与营收。乔治·丹齐格被认为是线性规划之父[1]。

标准型

描述线性规划问题的常用和最直观形式是标准型。标准型包括以下三个部分[1]：

一个需要极大化的线性函数，例如
$c_1 x_1 + c_2 x_2$
以下形式的问题约束，例如：
$a_{11}x_1 + a_{12}x_2 \le b_1$
$a_{21}x_1 + a_{22}x_2 \le b_2$
$a_{31}x_1 + a_{32}x_2 \le b_3$
和非负变量，例如：
$x_1 \ge 0$
$x_1 \ge 0$
线性规划问题通常可以用矩阵形式表达成：
$\quad \quad \vec{c}^T\vec{x}$
$\quad to \quad \boldsymbol{A}\vec{x} \le \vec{b}, \vec{x} \ge 0$

其他类型的问题，例如极小化问题，不同形式的约束问题，和有负变量的问题，都可以改写成其等价问题的标准型。

增广矩阵（松弛型）

在用单纯型法求解线性规划问题之前，必须先把线性规划问题转换成增广矩阵形式。增广矩阵形式引入非负松弛变量将不等式约束变成等式约束。问题就可以写成以下形式[1]：

$ \left[
\begin{matrix}
1 & -\vec{c}^T & 0 \
0 & \boldsymbol{A} & \boldsymbol{I} \
\end{matrix}
\right]
\left[
\begin{matrix}
Z \
\vec{x} \
\vec{x}_{s} \
\end{matrix}
\right] =
\left[
\begin{matrix}
0 \
\vec{b} \
\end{matrix}
\right]$
这里 $\vec{x}_{s}$ 是新引入的松弛变量， $Z$ 是需要极大化的变量。