poj_3233_Matrix Power Series（二分+矩阵快速幂）

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分类专栏： ACM 文章标签： POJ 数论

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本文探讨如何高效计算矩阵的幂次累加，并通过二分思想优化算法，解决大规模矩阵运算的问题。

Matrix Power Series

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Total Submissions: 12686		Accepted: 5431

Description

Given a n × n matrix A and a positive integer k, find the sum S = A + A2 + A3 + … + Ak.

Input

The input contains exactly one test case. The first line of input contains three positive integers n (n ≤ 30), k (k ≤ 10⁹) and m (m < 10⁴). Then follow n lines each containing n nonnegative integers below 32,768, giving A’s elements in row-major order.

Output

Output the elements of S modulo m in the same way as A is given.

Sample Input

2 2 4
0 1
1 1

Sample Output

1 2
2 3

Source

POJ Monthly--2007.06.03, Huang, Jinsong

题型：数论

题意：A是n*n的矩阵，计算 S = A + A^2 + A^3 + … + A^k。

分析：

首先可以想到用矩阵快速幂算出A^k，但是TLE，因为加的项过多，所以要将计算规模减小。

使用二分的思想进行处理：

对于k=2n，设B = A + A^2 + .. + A^n ，则 S = B * An + B。
对于k=2n+1，S = B * A^n + B + A^(2n+1)。

这样就可以不断递归，每次规模减小一半。

（一开始用了LL，TLE了好久。。。）

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,k,m;
struct Matrix
{
    int mat[31][31];
};

Matrix Mod(Matrix a){
    Matrix res;
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<n;j++){
            res.mat[i][j]=a.mat[i][j]%m;
        }
    }
    return res;
}

Matrix mul(Matrix m1,Matrix m2)
{
    Matrix ans;
    memset(ans.mat,0,sizeof(ans.mat));
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<n;j++)
            for(int k=0;k<n;k++)
                ans.mat[i][j]=(ans.mat[i][j]+m1.mat[i][k]*m2.mat[k][j]%m)%m;
    return Mod(ans);
}

Matrix pow(Matrix m1,int b)
{
    Matrix ans;
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<n;j++)
            ans.mat[i][j]=(i==j?1:0);
    while(b)
    {
        if(b&1)
            ans=mul(ans,m1);
        m1=mul(m1,m1);
        b/=2;
    }
    return ans;
}

Matrix Add(Matrix a,Matrix b){
    Matrix res;
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<n;j++){
            res.mat[i][j]=(a.mat[i][j]+b.mat[i][j])%m;
        }
    }
    return res;
}

Matrix Sum(Matrix b,int t){
    Matrix res;
    Matrix a=Mod(b);
    if(t==1){
        res=a;
        return res;
    }
    else{
        Matrix k=Sum(a,t/2);
        if(t&1){
            Matrix o=pow(a,t/2+1);
            return Add(Add(k,o),mul(o,k));
        }
        else{
            Matrix o=pow(a,t/2);
            return Add(k,mul(k,o));
        }
    }
}
int main(){
    Matrix a;
    scanf("%d%d%d",&n,&k,&m);
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<n;j++){
            scanf("%d",&a.mat[i][j]);
            a.mat[i][j]%=m;
        }
    }
    Matrix ans=Sum(a,k);
    for(int i=0;i<n;i++){
        printf("%d",ans.mat[i][0]);
        for(int j=1;j<n;j++){
            printf(" %d",ans.mat[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}