漫步数学分析番外二(上)

$\textbf{定理1}$ 在$R^n$中，对于每个$\varepsilon>0,x\in R^n$，集合$D(x,\varepsilon)$是开的。

$\textbf{证明：}$选择$y\in D(x,\varepsilon)$，我们必须产生一个$\varepsilon^{'}$使得$D(y,\varepsilon^{'})\subset D(x,\varepsilon)$。 图1表明我们可以选择$\varepsilon^{'}=\varepsilon-d(x,y)$，因为$d(x,y)<\varepsilon$，所以它是正值。对于这个选择(依赖于$y$)，我们将说明$D(y,\varepsilon^{'})\subset D(x,\varepsilon)$，令$z\in D(y,\varepsilon^{'})$，所以$d(z,y)<\varepsilon^{'}$，我们需要说明$d(z,x)<\varepsilon$。但是根据三角不等式，$d(z,x)\leq d(z,y)+d(y,x)<\varepsilon^{'}+d(y,x)$因为我们选择的$\varepsilon^{'}$满足$\varepsilon^{'}=d(y,x)=\varepsilon$，所以得证。$||$

图1

$\textbf{定理2}$

1. $R^n$中有限个开子集的交是$R^n$的一个开集。
2. $R^n$中任意开子集的并是$R^n$的一个开集。

$\textbf{证明：}$$\textrm{(i)}$两个开集的交为开集证明后，对于有限个交集可以写成$A_1\cap\cdot\cap A_n=(A_1\cap\cdot\cap A_{n_1})\cap A_n$。

令$A,B$是开集且$C=A\cap B$；如果$C=\emptyset$，那么$C$ 退化为特殊情况，就是开集，因此，假设$x\in C$，因为$A,B$是开集，所以存在$\varepsilon,\varepsilon^{'}>0$使得

$$D(x,\varepsilon)\subset A\quad\text{and}\quad D(x,\varepsilon^{'})\subset B$$
令$\varepsilon^{"}$是$\varepsilon,\varepsilon^{'}$中较小的那个，那么$D(x,\varepsilon^{"})\subset D(x,\varepsilon)$所以$D(x,\varepsilon^{"})\subset A$。 同样地，$D(x,\varepsilon^{"})\subset B$，所以$D(x,\varepsilon^{"})\subset C$

$\textrm{(ii)}$并的证明比较容易。令$U,V,\ldots$是开集，他们的并是$A$。 对于$x\in A$，那么存在一个$U$使得$x\in U$，因此由于$U$是开集，所以存在$\varepsilon>0$使得$D(x,\varepsilon)\subset U\subset A$，这就证明了$A$ 是开集。$||$

$\textbf{定理4}$集合$A\subset R^n$是闭的当且仅当$A$的所有聚点属于$A$。

$\textbf{证明：}$首先，假设$A$是闭的，令$x\in R^n$是一个聚点且$x\notin A$，集合$U=R^n\backslash A$，即$A$的补集。根据定义，$U$是包含$x$的开集，所以是$x$的一个邻域；但是$U\cap A=\emptyset$，与事实$x$是聚点矛盾。反过来，假设$A$包含所有的聚点，令$U=R^n\backslash A$是$A$ 的补集，我们需要说明$U$是开集。令$x\in U$，因为$x$不是$A$ 的聚点，所以存在$\varepsilon>0$使得$D(x,\varepsilon)\cap A=\emptyset$，因此$D(x,\varepsilon)\subset U$，根据定义可得$U$是开集。$||$

$\textbf{定理5}$ 令$A\subset R^n$，那么$\text{cl}(A)$ 由$A$与$A$的所有聚点组成。

$\textbf{证明：}$令$B$是$A$与$A$所有聚点组成的集合，根据定理4可知任何包含$A$的闭集必然包含$B$，所以证明$B$为闭集后，它将是包含$A$的最小闭集。令$x$是$B$的聚点，我们想说明$x\in B$。假设$x\notin A$(或者$x\in B$)，接下来将说明$x$是$A$的一个聚点，这样的话就完成了证明(由定理4可知它是闭集)。令$U$是包含$x$的开集，根据定义存在$y\in U\cap B$，那么要么$y\in A$，要么$y$是$A$的一个聚点。对于后一种情况，存在$z\in U\cap A$。 对于任何情况，$U$包含$A$中的某个元素(因为$x\notin A$，所以不同于$x$)，所以$x$ 是$A$ 的一个聚点。$||$

$\textbf{定理6}$ 令$A\subset R^n$，那么$x\in\text{bd}(A)$当且仅当对于每个$\varepsilon>0$，$D(x,\varepsilon)$包含$A$与$R^n\backslash A$中的点(这些点可能由$x$本身组成)。

$\textbf{证明：}$令$x\in\text{bd}(A)=\text{cl}(A)\cap\text{cl}(R^n\backslash A)$，接下来，要么$x\in A$要么$x\in R^n\backslash A$，如果$x\in A$，根据定理5，$x$是$R^n\backslash A$的一个聚点，结论成立。对于$x\in R^n\backslash A$的情况情况类似。$||$

$\textbf{定理7}$ $R^n$中的一个序列$x_k$收敛到$x\in R^n$当且仅当对于每个$\varepsilon>0$，存在一个$N$使得$n\geq N$时$\Vert x-x_n\Vert<\varepsilon$。

$\textbf{证明：}$假设$x_k\to x$并且$\varepsilon>0$，因为$D(x,\varepsilon)$是开的，那么有整数$N$使得$k\geq N$ 时$x_k\in D(x,\varepsilon)$或者$d(x,x_k)=\Vert x-x_k\Vert\varepsilon$。反过来，假设条件成立且$U$是$x$ 的一个邻域，可以找到$\varepsilon>0$使得$D(x,\varepsilon)\subset U$，那么有一个$N$使得$k\geq N$时$\Vert x_k-x\Vert<\varepsilon$，即$x_k\in D(x,\varepsilon)\subset U$。$||$

$\textbf{定理8}$ $x_k\to x$当且仅当$x_k$的每个元素收敛到$x$的每个元素。

$\textbf{证明：}$令$x_k=(x_k^1,\ldots,x_k^n)$(我们对每个元素加上上标避免与$k$混淆)。假设$x_k\to x=(x^1,\ldots,x^n)$，那么给定$\varepsilon>0$，选择$N$ 使得$k\geq N$时$\Vert x_k-x\Vert<\varepsilon$，但是

$$|x_k^1-x^1|\leq\Vert x_k-x\Vert=\left(\sum_{i=1}^n(x_k^i-x^i)^2\right)^{1/2}$$
这样的话$k\geq N$也意味着$|x_k^1-x^1|<\varepsilon$，所以$x_k^1\to x^1$，同样地可得$x_k^i\to x^i$。

反过来假设对所有的$i,x_k^i\to x^i$，那么给定$\varepsilon>0$，选择一个$N$使得$k\geq N$且对所有的$i=1,\ldots,n$时(其中$N$是所有$i$中满足要求的最大值)不等式$|x_k^i-x^i|<\varepsilon/sqrt{n}$ 成立，那么对于$k\geq N$，下式成立

$$\Vert x_k-x\Vert=\left(\sum_{i=1}^n(x_k^i-x^i)^2\right)^{1/2}<\left(\sum_{i=1}^n\frac{\varepsilon^2}{n}\right)^{1/2}=\varepsilon$$
所以$x_k\to x$。$||$

$\textbf{定理9}$

1. 集合$A\subset R^n$是闭的，当且仅当所有收敛序列$x_k\in A$，极限值都在$A$中。
2. 对于集合$B\subset R^n,x\in\text{cl}(B)$当且仅当存在一个序列$x_k\in B$满足$x_k\to x$。

$\textbf{证明：}$$\textrm{(i)}$首先，假定$A$是闭的。假设$x_k\to x$且$x\notin A$，那么$x$是$A$的一个聚点，因为任何$x$的邻域在$k$足够大时包含$x_k\in A$，因此由定理4可知$x\in A$。

反过来，我们利用定理4说明$A$是闭的。令$x$是$A$的一个聚点并且选择$x_k\in D(x,1/k)\cap A$，那么$x_k\to x$，因为对于任意$\varepsilon>0$，我们可以选择$N\geq1/\varepsilon$；然后$k\geq N$时$x_k\in D(x,\varepsilon)$；如图2。因此，根据假设可知$x\in A$，所以$A$是闭的。

$\textrm{(ii)}$ 和上面的类似。

$\textbf{定理10}$ $R^n$中的序列$x_k$收敛到$R^n$中的一点，当且仅当它是柯西序列。

$\textbf{证明：}$如果$x_k$收敛到$x$，那么对$\varepsilon>0$，选择一个$N$值使得$k\geq N$时$\Vert x_k-x\Vert<\varepsilon/2$，那么对$k,l\geq N$，利用三角不等式可得$\Vert x_k-x_l\Vert=\Vert(x_k-x)+(x-x_i)\Vert\leq\Vert x_k-x\Vert+\Vert x-x_i\Vert<\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon$。

反过来，假设$x_k$是柯西序列，那么因为$|x_k^i-x_l^i|\leq\Vert x_k-x_l\Vert$，序列中的元素也是实轴上面的柯西序列。利用$R$的完备性以及定理3，$x_k^i$收敛到$x^i$，那么根据定理8可知$x_k$收敛到$x=(x^1,\ldots,x^n)$。$||$

图2