探究 树链剖分

链可以看做是一种特殊的树，当一棵树退化成了链，某些问题就变得容易解决，也有很多数据结构支持这样那样的操作，线段树就是其中一种。从而我们可以想象，能否把一棵树也分成很多条链，从而来解决一些问题呢？这就有了树链剖分。

形象点说，树链剖分就是把一棵树分成多条链（称为“重链”），链与链之间有一些边相连，当操作在链上时，可以用线段树来维护，但在链与链之间的边（称为“轻边”，也叫“轻链”）就需要直接维护。在重链上，维护的时间复杂度为log级别的，而轻链需要一个个维护，如此看来，树链剖分的时间复杂度与轻链的条数有着直接的关系。那么就有一个问题，如何剖分才能够使轻链尽可能的少？

树链剖分是这样解决这个问题的：首先，每个点都必须在重链上（一条重链可以只有一个点），那么就需要把其中的一些重链加入一些点，使得重链的条数减少。对于一棵树，从下往上处理（即先处理深度比较大的）。size（i）记为以结点i为根的子树的结点数，某个点的重儿子就是指该结点儿子中size值最大的一个，其余的儿子称为“轻儿子”（也可能没有儿子）。每个结点加入它重儿子所在的重链。如图：点1的重儿子是点3，点3的重儿子为点6，点4的重儿子为点8或点9（若size值相等，则任选一个作为重儿子，下面的例子是取点8）。

我们按深度处理，除黑色代表未处理的点，不同的颜色为不同的重链：

如样例，就有五条重链，四条轻链（黑色的边）。现在需要证明的是，按照如此剖分的方法，从任意一点到根结点经过的轻链不超过log n条。假设是从点i出发。若i向上走一步，经过了一条轻链，来到了它的父亲k（如图点5走一步到点3），size（k）必然大于size（i）* 2 ，因为点i不是点k的重儿子，点k必然有一个重儿子j，使得size（j）≥size（i），那么自然有size（k）＞size（i）* 2 。也就是说，每经过一条轻链，size（i）就要翻一倍，所以最坏情况下只会翻倍log n次，如果超过了log n，那么这棵树的结点就要超过n啦，是不符题意的。

通过上面的结论，显然：从任意一点到根结点经过的重链也不超过log n条。

如此看来，从任意一点到另一点，经过的轻链不会超过2 * log n。时间复杂度就得到了保障，加上重链的维护，那就是O（2 * log n + 2 * log n * log n），这是最坏情况，一般很难达到。

下面再说说具体实现的步骤，是对于点的修改和询问。若是基于边的修改和查询，那么把每条边的权值附在它下面的那个点上（如样例，连接点3和点6的那条边的值就保存在点6上），这样能够保证每条边都有可依附的点。

有一种写法是把所有的点都放进一棵线段树，这样代码是短，但我觉得比较慢。起码比下面的方法慢3倍。

我写的是多棵线段树，用指针实现。剖分的过程用宽搜。

npath：重链条数。

top（i）：重链i最顶端结点。

len（i）：重链i的长度。

belong（i）：结点i属于哪条重链。

idx（i）：结点i所在的重链的编号。如样例，绿色重链中，idx(10) = 0, idx(6) = 1, idx(3) = 2, idx(1) = 3。

dep（i）：结点i的深度。

size（i）：以结点i为根的子树的结点个数。

father （i）：结点i的父亲。

还有，对于两点操作，并不需要找它们的最近公共祖先，只需要看它们所在重链的顶端结点的深度，深度低的往上跳，直到两点在同一重链。

具体的实现看qtree模板。