从n个数中选择K个数的和为sum＜DFS＞

原创 于 2022-10-30 17:00:48 发布 · 198 阅读 · 0 ·
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#深度优先 #算法 #c++

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前言

	简单问题,写的不好,大佬见谅.
	如有疏漏,恳请指正,小编垂首.

问题描述:

从n个数中选择K个数的和为sum，其中，n个数,k,sum，由键盘输入

问题解析:

深度搜索树

实现代码:

代码如下（示例）：

使用vector

#include<iostream>
#include<stack>
#include<vector>
using namespace std;
int n, k, sum;
vector<int> a;
stack<int> ans;

void dfs(int s, vector<int>::iterator it, int cnt) {
   
   //当前累加数,指针,累加的数子个数
	if (s > sum || cnt > k) {
   
   //越界回溯
		return;
	}
	if (cnt == k && s == sum) {
   
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void printAllSums(vector<int>& nums, int k) { int n = nums.size(); // 如果k大于n，则不可能有解，因为不能重复选取同一个元素 if (k > n) { cout << "k is greater than n, no solution" << endl; return; } // dp[i]表示选取i个元素的所有可能的和，使用set来存储（自动排序和去重） vector<set<long long>> dp(k+1); dp[0].insert(0); for (int i = 0; i < n; i++) { // 从后往前更新，避免同一个元素被重复使用（因为dp[j-1]是上一轮的状态） for (int j = k; j >= 1; j--) { set<long long> temp; // 用于暂存新的和 for (auto sum : dp[j-1]) { temp.insert(sum + nums[i]); } // 将temp合并到dp[j]中 dp[j].insert(temp.begin(), temp.end()); } } // 输出所有可能的和 cout << "All possible sums of " << k << " elements:" << endl; for (auto sum : dp[k]) { cout << sum << " "; } cout << endl; } int main() { vector<int> nums = {1, 2, 3}; int k = 2; printAllSums(nums, k); // 应该输出：3,4,5（因为1+2=3,1+3=4,2+3=5） return 0; } ``` 但是，上面的代码在k较大时效率很低。例如，当k=100时，dp[j]的集合大小可能非常大（组合爆炸），所以不适用。 因此，我们需要在k较大时采用其他方法。然而，目前没有特别高效的方法能枚举所有可能的和（因为数量本身就是指数级的）。所以，我们只能处理k较小的情况。 如果用户需要处理k较大的情况，可能需要考虑问题是否有其他约束，或者是否需要的是其他信息（如前k大和等）。 相关问题： 1. 如果数组中有重复元素，如何避免重复计算相同的和？ 答：我们的动态规划方法中，使用set存储，自动去重，所以重复元素不会导致重复的和（但注意，不同的位置即使元素值相同，也被视为不同的元素，所以如果两个相同的元素分别被选，那么它们的和可能相同，但set会去重）。所以不需要特殊处理。 2. 如何优化空间复杂度？ 答：我们可以使用一维数组，然后从后往前更新，这样只需要一维的dp数组（每个j对应一个set）。但是，空间复杂度主要取决于每个set的大小，所以很难优化。 3. 如果不需要所有可能的和，而是需要第k大的和，或者最大和，如何优化？ 答：如果是求第k大和，我们可以使用堆（优先队列）或者二分查找，参考LeetCode题目“数组的第k大和”。 4. 如果数组元素都是非负数，我们可以使用什么优化？ 答：如果非负，我们可以通过剪枝（比如排序后，提前终止）来优化动态规划，但这里元素有正有负，所以不能剪枝。 5. 有没有其他算法可以处理k较大的情况？ 答：目前没有已知的高效算法可以在k较大时枚举所有可能的和（因为组合数太大），除非k接近0或n（比如k=1，k=n-1等），我们可以特殊处理。但一般情况，只能处理k较小的情况。 因此，我们提供的代码适用于k较小（比如k<=20）的情况。如果k较大，建议用户重新考虑需求，或者使用近似算法或求特定值（如第k大和）的算法。 生成相关问题： 1. 如何优化从数组中选择k个元素求和的所有可能结果的算法？ 2. 如果数组元素都是非负数，如何优化动态规划？ 3. 如何求从数组中选择k个元素的所有和中的最大值？ 4. 如何求数组的第k大子序列和？ 5. 如何从数组中选择k个元素，使得它们的和最接近某个目标值？</think>### 从数组中选择 k 个元素求和的所有可能结果（C++实现） 在C++中实现从数组中选择 k 个元素求和的所有可能结果，核心思路是使用**动态规划**或**回溯法**。以下是两种方法的详细实现和说明： --- ### 方法一：动态规划（推荐） 使用二维集合存储中间结果，`dp[j]` 表示选择 `j` 个元素的所有可能的和。 ```cpp #include <iostream> #include <vector> #include <set> using namespace std; vector<long long> getAllSums(vector<int>& nums, int k) { // dp[j] 存储选择 j 个元素的所有可能的和 vector<set<long long>> dp(k + 1); dp[0] = {0}; // 选择0个元素的和为0 for (int num : nums) { // 倒序更新避免重复使用同一元素 for (int j = k; j >= 1; j--) { set<long long> newSums; for (long long sum : dp[j - 1]) { newSums.insert(sum + num); } // 合并新的和到当前集合 dp[j].insert(newSums.begin(), newSums.end()); } } // 转换为 vector 返回 return vector<long long>(dp[k].begin(), dp[k].end()); } int main() { vector<int> nums = {1, 2, 3, 4}; int k = 2; vector<long long> sums = getAllSums(nums, k); cout << "所有可能的和："; for (long long s : sums) { cout << s << " "; // 输出：3 4 5 6 7 } return 0; } ``` #### 特点： - **时间复杂度**：$O(n \times k \times S)$，其中 $S$ 是和的可能取值数量（最坏情况是指数级）。 - **空间复杂度**：$O(k \times S)$。 - **适用场景**：$k$ 较小（如 $k \leq 20$）时高效。 --- ### 方法二：回溯法（DFS） 通过递归枚举所有组合，适用于小规模数据。 ```cpp #include <iostream> #include <vector> #include <set> using namespace std; void dfs(vector<int>& nums, int start, int count, int k, long long currentSum, set<long long>& result) { if (count == k) { result.insert(currentSum); return; } if (start >= nums.size()) return; // 选择当前元素 dfs(nums, start + 1, count + 1, k, currentSum + nums[start], result); // 跳过当前元素 dfs(nums, start + 1, count, k, currentSum, result); } vector<long long> getAllSumsDFS(vector<int>& nums, int k) { set<long long> result; dfs(nums, 0, 0, k, 0, result); return vector<long long>(result.begin(), result.end()); } int main() { vector<int> nums = {1, 2, 3}; int k = 2; vector<long long> sums = getAllSumsDFS(nums, k); cout << "所有可能的和："; for (long long s : sums) { cout << s << " "; // 输出：3 4 5 } return 0; } ``` #### 特点： - **时间复杂度**：$O(2^n)$，$n$ 为数组长度。 - **空间复杂度**：$O(C(n, k))$（组合数）。 - **适用场景**：$n$ 较小（如 $n \leq 20$）。 --- ### 关键问题与优化 1. **去重处理**： - 使用 `set` 自动去重，确保结果唯一。 - 若数组有重复元素，需先排序并在回溯中跳过相同值（避免重复组合）。 2. **负数处理**： - 动态规划和回溯法天然支持负数（如 `nums = {-1, 2}`，$k=1$ 时输出 `{-1, 2}`）。 3. **性能优化**： - $k$ 较大时优先用动态规划，$n$ 较大时需折中（如 $k \leq 20$）。 - 剪枝：回溯法中提前终止不可能路径（如剩余元素不足时）。 4. **应用场景扩展**： - 求**第 k 大和**：转化为堆（优先队列）优化问题[^1]。 - 求**和最接近目标值**：动态规划后二分查找。 --- ### 相关问题 1. **如何优化动态规划的空间复杂度？** > 改用滚动数组（一维 `dp`），倒序更新 $j$： > ```cpp > vector<set<long long>> dp(k + 1); > dp[0] = {0}; > for (int num : nums) { > for (int j = k; j >= 1; j--) { > // 更新 dp[j] > } > } > ``` 2. **数组含重复元素时如何避免重复和？** > 先排序数组，在回溯中跳过相同值： > ```cpp > sort(nums.begin(), nums.end()); > if (i > start && nums[i] == nums[i-1]) continue; // 回溯中跳过 > ``` 3. **如何求所有和中第 k 小的值？** > 动态规划后，将 `dp[k]` 转为 `vector` 并排序取第 $k$ 个元素。 4. **若只需判断是否存在和为 M 的组合，如何优化？** > 改用布尔类型 `dp[j][s]`，空间换时间（$s$ 为和的范围）[^2]。 5. **动态规划与回溯法的选择依据是什么？** > - $n$ 小用回溯（$n \leq 20$），$k$ 小用动态规划（$k \leq 20$），否则需问题转化（如求第 $k$ 大和）[^1][^3]。
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