矩形嵌套

题目：矩形嵌套

描述
有n个矩形，每个矩形可以用a,b来描述，表示长和宽。矩形X(a,b)可以嵌套在矩形Y(c,d)中当且仅当a<c,b<d或者b<c,a<d（相当于旋转90度）。例如（1,5）可以嵌套在（6,2）内，但不能嵌套在（3,4）中。你的任务是选出尽可能多的矩形排成一行，使得除最后一个外，每一个矩形都可以嵌套在下一个矩形内。

当时看书的时候看到的这道题，属于入门级的动态规划练习。
有两种思路
1. 直接用dp去做，列出状态转移方程。
2. 矩形的包含与被包含是一个二元关系，满足传递性，把矩形的包含看成图的有向边，则问题变成求该图中的最长路径问题，需要注意的是该图并没有制定开始节点和结束节点，所以如果不加注意复杂度很高。

对于第一种方法，按照题意，设$d(i,j)$为边长为i,j的矩形最大能包含的矩形个数，若该矩形不能包含任意矩形，则$d(i,j)=0$。
对于状态转移方程，不难想到，矩阵(i,j)能够包含的最大个数必然是所有矩阵包含的最大个数最大的那一个+1。状态转移方程也就找到了，其实两种方法的状态转移方程是一样的

$$d(i,j)=max\{d(x,y)+1 | (x,y) \epsilon M\ and\ x<i\ and\ y<j\}$$

代码如下

#include <iostream>

using namespace std;

#define N 100

struct Mat
{
    int x,y;
};

Mat mat[N];

int cache[N];

int tot;

int d(int n)
{
    if(cache[n] != -1)
        return cache[n];
    int max = 0;
    for(int i = 0; i < tot; i++)
    {
        if(i == n)
            continue;

        if(mat[i].x < mat[n].x && mat[i].y < mat[n].y || mat[i].x < mat[n].y && mat[i].y < mat[n].x)
        {
            if(cache[i] == -1)
                d(i);
            if(max < cache[i]+1)
                max = cache[i]+1;
        }
    }
    cache[n] = max;
    return max;
}


int main()
{
    cin >> tot;
    for(int i = 0; i < tot; i++)
    {
        cin >> mat[i].x >> mat[i].y;
        cache[i] = -1;
    }
    int max = 0;
    for(int i = 0; i < tot; i++) {
        int n = d(i);
        if(n > max)
            max = n;
    }

    std::cout << max << std::endl;
}