数值梯度的计算

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数值梯度的表达式：

$\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

其误差为 $O(h)$ ,证明如下：

$f(x+h)=f(x)+f'(x)h+O(h^2)$

$\frac{f(x+h) - f(x)}{h}=\frac{f(x)+f'(x)h+O(h^2)-f(x)}{h} = f'(x) - O(h)$

而：

$\frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}$

$f(x+h)=f(x)+f'(x)h+f''(x)h^2+O(h^3)$

$f(x-h)=f(x)-f'(x)h+f''(x)h^2-O(h^3)$

$\frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}=\frac{2f'(x)h + 2O(h^3)}{2h}=f'(x)+O(h^2)$

的误差是 $O(h^2)$ , 这是不同的地方。

以函数

$f(x)=0.01x^2 + 0.1x$

为例，计算它的数值微分，首先根据高等数学公式，可以得出 $f'(x)=0.02x + 0.1$

$f'(5)=0.2$

# coding: utf-8
import numpy as np
import matplotlib.pylab as plt

def numerical_diff(f, x):
    h = 1e-3 # 0.001
    return (f(x+h) - f(x-h)) / (2*h)

def function_1(x):
    return 0.01*x**2 + 0.1*x 

def tangent_line(f, x):
    d = numerical_diff(f, x)
    print(d)
    y = f(x) - d*x
    return lambda t: d*t + y
     
x = np.arange(0.0, 20.0, 0.1)
y = function_1(x)
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("f(x)")

tf = tangent_line(function_1, 5)
y2 = tf(x)

plt.plot(x, y)
plt.plot(x, y2)
plt.show()

运行结果如下：