分格化和二次方程表面

分格化
opengl只能对凸多边形进行渲染,所以对于凹多边形和有空洞的多边形需要进行分格化处理
步骤:
1.gluNewTess()创建一个分格化对象
2. 调用几次gluTessCallback()注册几个用于在分格化时执行必要操作的回调函数,
3. gluTessProgerty()指定分格化属性
4. 指定一个或多个多边形轮廓线来创建和渲染经过分格化的多边形
5.复用分格化对象或gluDeleteTess删除分格化对象

分格化属性
gluTessProperty(GLUtesselator* tessobj, GLenum property, GLdouble value);
property        value     default value    function
GLU_TESS_BOUNDARY_ONLY   GL_TRUE分格化为线框多边形   GL_FALSE绘制填充多边形   
GLU_TESS_TOLERANCE     表示距离    0    多边形两点距离小于公差值value时合并
GLU_TESS_WINDING_RULE         GLU_TESS_WINDING_ODD 决定那部分位于内部和外部
gluGetTessProperty()获取属性值
gluTessNormal()控制分格化的多边形环绕方向。
定义多边形
void gluTessBeginPolygon(GLUtesselator* tessobj, void * user_data);
void gluTessEndPolygon(GLUtesselator* tessobj);
在两个函数之间进行多边形绘制,系统自动进行分格化,并按照指定的gluTessCallback和gluTessProperty进行处理。user_data会直接传递给带有DATA的回调函数。
gluTessBeginContour(GLUtesselator* tessobj);
gluTessEndContour(GLUtesselator* tessobj);
开始和结束一条闭合的轮廓线
gluTessVertex(GLUtesselator* tessobj, GLdouble coords[3], void* vertex_data);
指定多边形顶点。coords包含了三维顶点,vertex_data包含了顶点坐标,表面法向,纹理坐标, 颜色信息等所有回调函数可能用到的数据。
删除分格化对象;
void gluDeleteTess(GLUtesselator* tessobj);
提高分格化性能建议:
1. 把分格化操作的输出存储在显示列表或其他用户结构中
2. 使用gluTessNormal()提供多边形法向
3. 一个线程的情况下,使用一个分格化对象渲染大量多边形。
二次方程表面
使用分格化实现二次方程表面绘制
步骤:
1. gluNewQuadrix()创建二次方程对象
2. 指定绘图属性
 a. gluQuadrixOrientation()控制环绕方向,区分内外部分
 b. gluQuadricDrawStyle选择把物体渲染为点,线或填充多边形
 c. 对于使用光照的表面,gluQuadricNormals为每个顶点指定法线
 d. 对于进行纹理贴图的表面,gluQuadricTexture生成纹理坐标
3. gluQuadricCallback注册错误回调函数
4. 根据需要调用二次方程表面渲染函数gluSphere(), gluCylinder(), gluDisk(), gluPartialDisk().
5. gluDeleteQuadric()销毁对象,可以复用该对象。
### 使用Python实现二维泊松方程的数值解法 #### 方法概述 求解二维泊松方程的方法多种多样,其中包括但不限于点迭代法、多重网格法以及共轭梯度法。这些方法各有特点,在不同场景下表现出不同的效率精度。 #### 点迭代法简介 点迭代法是一种简单直观的方式用于解决由泊松方程离散后的线性代数方程组[^1]。该类方法通过逐次更新每一个未知变量直至满足收敛条件为止。常见的几种点迭代技术包括雅可比(Jacobi)迭代、高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代及其改进版本——超松弛(SOR)迭代等。 #### 多重网格法的应用 当面对复杂几何形状或非均匀分布的问题域时,采用基于非等距矩形网格的多重网格算法能够有效提高计算性能并保持较高的准确性[^2]。此方法的核心思想是在一系列逐渐细的不同尺度下的网格之间传递误差修正信息,从而加速全局解的逼近过程。 #### 构建系数矩阵 利用五点差分格式近似连续空间中的拉普拉斯算子是构建离散模型的关键步骤之一。对于给定尺寸为\( n \times n \) 的区域划分,所形成的稀疏矩阵具有特定结构特征:中心节点对应的主对角线上元素较大而相邻位置处存在较小负值作为副对角项[^3]。这种布局反映了局部区域内各点间相互作用关系,并且随着边界的接近某些连接权重会发生变以适应物理边界条件的要求。 #### Python代码实例 以下是使用NumPy库编写的一个简单的Python脚本来展示如何应用上述理论框架来求数值解: ```python import numpy as np def poisson_solver(n, f_func=lambda x,y: 0., bc='dirichlet'): """ Solve the Poisson equation on a square domain using finite difference method. Parameters: n : int Number of grid points along each dimension (excluding boundaries). f_func : callable Function defining source term at any point within the domain. bc : str {'dirichlet', 'neumann'} Type of boundary condition applied around edges. Returns: u : ndarray Solution array representing potential field over entire area. """ h = 1./(n+1.) # Grid spacing # Initialize solution matrix with zeros or appropriate BC values if bc.lower() == 'dirichlet': u = np.zeros((n+2,n+2)) u[[0,-1],:] = 0.; u[:,[0,-1]] = 0. # Homogeneous Dirichlet conditions elif bc.lower() == 'neumann': raise NotImplementedError("Neumann BC not implemented yet.") else: raise ValueError(f"Unknown boundary type '{bc}'.") # Fill interior nodes according to specified forcing function and update rule for _ in range(int(1e4)): # Iteration limit set arbitrarily high here; adjust based on convergence criteria unew = u.copy() for i in range(1,n+1): for j in range(1,n+1): laplace_term = (-4*u[i,j]+u[i-1,j]+u[i+1,j]+u[i,j-1]+u[i,j+1])/(h*h) rhs_value = f_func(i*h,(j)*h) unew[i,j] = -(rhs_value-laplace_term)/(-4./h/h) err = abs(unew-u).max() if err < 1.e-6: break # Convergence criterion met u[:,:] = unew[:,:] return u[1:-1,1:-1] if __name__=='__main__': from matplotlib import pyplot as plt N = 50 # Resolution parameter controlling mesh density sol = poisson_solver(N,f_func=(lambda x,y:(np.sin(np.pi*x)**2)*(y*(1-y))),bc="dirichlet") X,Y=np.meshgrid(np.linspace(0,1,N),np.linspace(0,1,N)) fig=plt.figure(figsize=[8,6]) ax=fig.add_subplot(projection='3d') surf=ax.plot_surface(X,Y,sol,cmap='viridis') ax.set_xlabel('X axis');ax.set_ylabel('Y axis');ax.set_zlabel('Potential'); plt.show() ``` 这段程序定义了一个名为`poisson_solver()`的功能函数,它接受三个参数:网格大小(`n`)、源项表达式(`f_func`)以及边界条件类型(`bc`)。默认情况下施加的是齐次狄利克雷(Dirichlet)型约束;而对于诺伊曼(Neumann)情况暂时未予支持。内部循环实现了基本的Jacobi迭代逻辑直到达到预设的小阈值停止标准为止。最后部分展示了绘制三维表面图形的结果以便更直观地观察所得场强分布特性。
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