51nod_1242 斐波那契数列的第N项

最新推荐文章于 2019-08-31 10:05:19 发布

tt_twilight

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分类专栏： 51nod 数论文章标签： 51nod 数论

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本文介绍了一种利用矩阵快速幂算法高效计算大数斐波那契数列的方法，该方法适用于当斐波那契数列的索引非常大时的情形。通过将斐波那契数列的递推关系转化为矩阵形式，并使用快速幂算法进行计算，可以有效地避免传统递归或迭代方法中出现的溢出或效率低下问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

原题链接：http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1242

                1242 斐波那契数列的第N项

基准时间限制：1 秒空间限制：131072 KB 分值: 0 难度：基础题收藏关注
斐波那契数列的定义如下：

F(0) = 0
F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) (n >= 2)

(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, …)
给出n，求F(n)，由于结果很大，输出F(n) % 1000000009的结果即可。
Input
输入1个数n(1 <= n <= 10^18)。
Output
输出F(n) % 1000000009的结果。
Input示例
11
Output示例
89

数据量大的斐波那契数列可以用矩阵快速幂做，如下：

已经经过证明得到的公式：
这里写图片描述

实际上我们可以经过递推求F【n】
参考博客：http://blog.youkuaiyun.com/g_congratulation/article/details/52734306

代码：

//矩阵快速幂

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define MOD  1000000009
typedef long long ll;

struct matrix{
    ll mat[5][5];
};

matrix mul(matrix &a, matrix &b)
{
    matrix c;
    int i, j, k;
    for (i = 0; i < 2; i++)
        for (j = 0; j < 2; j++)
        {
            c.mat[i][j] = 0;
            for (k = 0; k < 2; k++)
            {
                c.mat[i][j] = (c.mat[i][j] + a.mat[i][k] * b.mat[k][j]) % MOD;
            }
        }
    return c;
}

matrix pow(matrix a, ll n)
{
    matrix ans;
    int i, j;
    for (i = 0; i < 2; i++)
        for (j = 0; j < 2; j++)
            if (i == j)
                ans.mat[i][j] = 1;
            else
                ans.mat[i][j] = 0;
    while (n)
    {
        if (n & 1)
            ans = mul(ans, a);
        a = mul(a, a);
        n /= 2;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    ll n;
    matrix a, b;
    scanf("%lld", &n);
    a.mat[0][0] = a.mat[0][1] = a.mat[1][0] = 1;
    a.mat[1][1] = 0;
    b = pow(a, n);
    printf("%lld\n", b.mat[0][1] % MOD);
    return 0;
}