二分尺取题型总结

最新推荐文章于 2024-12-09 16:15:01 发布

原创最新推荐文章于 2024-12-09 16:15:01 发布 · 419 阅读

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尺取算法

题型 1

查找序列的连续元素的子序列的最小长度，其总和大于或等于 maxsum。

过程分为四步

1.初始化左右端点。

2.不断扩大右端点，直到不满足while(sum<=maxsum&&r<n)的条件。

3.如果sum 小于 maxsum ，直接结束（上一个 while 结束时肯定遍历到了右边界）。或者sum 大于 maxsum ，进行下一步。

4.不断地将左端点往右撤，一步一步的判断减去后是否比summax小，如果大，sum 的和也相应地减去 a[j++] ，逐渐回到初始状态。如果在中间减得过程有 sum小于 summax 的情况，那就不好意思，回退过程结束，进行往右扩展，就会一直这样扩展，判断，回退，再扩，直到到了右边界的时候，退出，while(1)。

用了一个 while(1) break; 来不断的实现求出最短的序列，上面实现过程中，都会有一次 ans==min(r-1,ans) 的结果更新。

算法相当精妙。

模板：：

{

int l=0,r=0,ans=n+1;
while(1)
{
    while(sum<=maxsum&&r<n)
          sum=sum+a[r++];  

    if(sum<maxsum)
        break;

    ans=min(r-1,ans);

    sum=sum-a[l++];
    
}

    if(ans>n)
        cout<<"no"<<endl;

    cout<<ans<<endl;


return 0;

}

2.找出一串数字的最大的和，并找出起始下表和末尾下标。

也是尺取的思想，不断对左端点和右端点进行移动，达到最大的一个子序列。首先有一个 maxsum 来记录现在状态的和，还需要一个去前面探路的 sum ，

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream> 
#include<algorithm>
const int maxn=100005;
using namespace std;
typedef long long ll;
int a[maxn];
int main()
{
	int t,n,i,start,end,summax,sum,kase=0,g=0;
	cin>>t;
	while(t--)
	{
		memset(a,0,sizeof(a)); 
		sum=0;
		summax=0;
		cin>>n;
		for(i=0;i<n;i++)
		{
			cin>>a[i];
		}
		summax=a[0];
		start=0;
		end=0;
		int l=0;
		for(i=0;i<n;i++)
			{
				sum=sum+a[i];
				if(sum>summax)
				{
					summax=sum;
					end=i;
					l=start;
				}
				if(sum<0)
				{
					sum=0;
					start=i+1;	
				}
			}
			if(g)
				cout<<endl;
			printf("Case %d:\n",++kase);
		cout<<summax<<' '<<l+1<<' '<<end+1<<endl;
				g=1;		
	}	
	return 0;
}

3.题面：

Aggressive cows

农夫 John 建造了一座很长的畜栏，它包括N (2 <= N <= 100,000)个隔间，这些小隔间依次编号为x1,...,xN (0 <= xi <= 1,000,000,000). 但是，John的C (2 <= C <= N)头牛们并不喜欢这种布局，而且几头牛放在一个隔间里，他们就要发生争斗。为了不让牛互相伤害。John决定自己给牛分配隔间，使任意两头牛之间的最小距离尽可能的大，那么，这个最大的最小距离是什么呢？

Input

有多组测试数据，以EOF结束。第一行：空格分隔的两个整数N和C 第二行——第N+1行：分别指出了xi的位置

Output

每组测试数据输出一个整数，满足题意的最大的最小值，注意换行。

Sample Input

Sample Output

Hint

1位置放一头牛，4位置放一头牛，它们的差值为3；最后一头牛放在8或9位置都可以，和4位置的差值分别为4、5，和1位置的差值分别为7和8，不比3小，所以最大的最小值为3。

本题是一个二分答案，尺取，的题型。

代码：

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<math.h>
#include<stdlib.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
#include<string.h>
typedef long long ll;
const ll maxn=100005; 
ll a[maxn]; 
ll n;
ll cownum;

bool check(ll x)    //判断这个 mid是大了还是小了，小了不满足题意，大了 装不下牛 
{
	ll k=1;
	ll i,niunow;
	niunow=a[0];
	for(i=1;i<n;i++)
		if(a[i]-niunow>=x)
		{
			niunow=a[i]; 
			k++;
		if(k==cownum)
			return true;
		}
		return false;
}
int main()
{
	ll i;
	while(scanf("%lld%lld",&n,&cownum)!=EOF)   //cin cout 超时  
	{
		ll mid;
		memset(a,0,sizeof(a));
		for(i=0;i<n;i++)
			scanf("%lld",&a[i]);
		//	cin>>a[i];          //会超时  
		sort(a,a+n);
		ll left=0,right=a[n-1]-a[0];
		while(left<=right)            
		{
			mid=(left+right)/2.0;
			if(check(mid))
				left=mid+1;	     //  往距离大的 答案去找 
			else
				right=mid-1;	 // 往距离小的答案去找 
		}
		printf("%lld\n",left-1); 		
		//cout<<left-1<<endl;    //用 cin cout 会超时  
		
		
	}
	return 0;
}

什么是二分答案呢？

就是对答案进行一系列的查找，直到找到那个最优的答案就可以，感觉和二分查找类似，大多数情况下用于求解满足某种条件的最大（最小）值。下面看个图

在判断牛是否能装下时，用了一个贪心算法，使更多的牛能装下。先从小的隔间里装牛，可以的话，就把这个牛的隔间位置记录，然后再比较下一个牛与它之间的距离，如果大于之前 mid 二分的距离，就能装，如果不行，就不能装，直到所给的牛，全装下（或者不能装下），再去二分。贪心。

就像这个题一样，两头牛之间的距离就是这个代价一样，如果太小，放在一个隔间里面，就不满足条件，如果让它们距离够大（前提是要把指定的牛装满），也不满足条件，所以牛隔间之间距离不大也不小（可以装下所有的牛，也不至于两头牛在一个隔间里面），才可以满足条件，然后再求满足条件中任意两头牛之间最小距离的最大值。

首先先想，两牛之间的最大距离是什么，首先对牛的隔间序号排序，那么第一个隔板和最后一个隔板间的距离就是两头牛最大的距离，这样从最大的距离开始去分区间，来做，比从1距离简单，就不用再去搜比最优解更小的距离了。

这时候就需要去遍历距离，从而得到那个最优解，如果暴力遍历，数据量过大，很容易超时，我们就用二分的方法来做，就像（二分查找逐个分一半，在一半中遍历，就不用全部遍历，达到优化的效果，大大缩短时间），我们就可以把答案二分，得到最优的答案。

是如何得到最优的答案，如果目前的距离可以装下所有的牛，就将距离拉长，如果不满足，就将距离缩短，我们一开始定义了两头牛之间的最短距离和最长距离，我们就可以分区间，在哪一个区间满足，就在哪个区间继续分区间，如果在分的时候，不满足条件了，就会往回退（意思就是将距离变小一点），就这样，一直一直分，直到不能再分的时候，就停止继续二分，这样就能得到牛的最小距离的最大值。

上面有个尺取，排版有点乱，抱歉，我在完善完善。

还在不断完善中。

如有错误，请指正，谢谢。