[莫队]BZOJ 4542 [Hnoi2016]大数题解

最新推荐文章于 2022-03-22 22:08:16 发布

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莫队算法

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本文探讨了在给定数字串中快速找出所有为特定素数倍数的子串数量的方法。针对素数为2或5的特殊情况，提出了直接遍历的解决方案；而对于其他素数，通过构建后缀和并利用莫队算法优化，实现了区间内符合条件子串的高效计算。

题目大意

给出一个长度为 $N$ 的数字串和一个素数 $p$ ， $M$ 组数据求一段子串内为 $p$ 倍数的子串个数。

解题分析

先假设 $p$ 不为2和5，那么对于一个 $p$ 的倍数 $x$ 和一个位数为 $L$ 的数字 $y$ ，那么有

$x\ mod\ p=0$

$y\ mod\ p=z$

$x*10^L+y)\ mod\ p=(x*10^L\ mod\ p+y\ mod\ p)\ mod\ p$

$x\ mod\ p*10^L\ mod\ p+z)\ mod\ p=z$

所以如果可以弄一个后缀和，那么发现如果 $s u m [L]$ 和 $s u m [R + 1]$ 关于 $p$ 同余，那么子串 $s[L\dots R]$ 是p的倍数，所以题目变为找一段区间内 $s u m$ 相等的对数。然后可以离线，明显莫队……

如果 $p$ 为2或5，那么可以直接查找，因为只要一个子串的最后一位是 $p$ 的倍数，那么这个数就是 $p$ 的倍数。所以只要有一个数，那么从以这个点为右端的所有的这个点到左端点之间的数都是 $p$ 的倍数。直接 $O (n)$ 预处理再 $O (1)$ 输出就行。

示例代码

题目传送门

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
int n,m,p,S,ha[100005],hsh[100005];
LL sum[100005],b[100005],k,ans[100005];
char s[100005];
struct data{
	int L,R,id,num;
	data (int L=0,int R=0,int id=0):L(L),R(R),id(id){num=S?(L-1)/S:0;}
	bool operator < (const data b)const{return num<b.num||(num==b.num&&R<b.R);}
}a[100005];
inline void readi(int &x){
	x=0; char ch=getchar();
	while ('0'>ch||ch>'9') ch=getchar();
	while ('0'<=ch&&ch<='9') {x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
}
void _init(){
	freopen("bignum.in","r",stdin);
	freopen("bignum.out","w",stdout);
	readi(p); scanf("%s",s+1); n=strlen(s+1); readi(m); S=sqrt(n);
	for (int i=1,x,y;i<=m;i++){readi(x); readi(y); a[i]=data(x,++y,i);}
}
void _worka(){
	for (int i=1;i<=n;i++)
		{int pd=((s[i]-'0')%p==0); hsh[i]=hsh[i-1]+pd; sum[i]=sum[i-1]+pd*i;}
	for (int i=1;i<=m;i++)
	ans[i]=sum[a[i].R-1]-sum[a[i].L-1]-(a[i].L-1)*(hsh[a[i].R-1]-hsh[a[i].L-1]);
}
void _workb(){
	sort(a+1,a+m+1); sum[n+1]=k=0; memset(ha,0,sizeof(ha));
	LL f=1;	for (int i=n;i;i--){b[i]=sum[i]=(sum[i+1]+f*(s[i]-'0')%p)%p; f=f*10%p;}
	b[n+1]=0; sort(b+1,b+n+2); b[0]=unique(b+1,b+n+2)-b-1;
	for(int i=1;i<=n+1;i++) sum[i]=lower_bound(b+1,b+1+b[0],sum[i])-b;
	int L=1,R=0;
	for (int i=1;i<=m;i++){
		while (R<a[i].R) k+=ha[sum[++R]]++;
		while (L>a[i].L) k+=ha[sum[--L]]++;
		while (L<a[i].L) k-=--ha[sum[L++]];
		while (R>a[i].R) k-=--ha[sum[R--]];
		ans[a[i].id]=k;
	}
}
void _solve(){
	if (p==2||p==5) _worka(); else _workb();
	for (int i=1;i<=m;i++) printf("%d\n",ans[i]);
}
int main()
{
	_init();
	_solve();
	return 0;
}