欧拉筛

欧拉筛，就是找出所有素数的。

一般的筛法都是O(n*logn)的，不介绍了。

void makep(){
    p[0]=0; memset(vs,1,sizeof(vs)); vs[0]=vs[1]=0;
    for (int i=2;i<=n;i++){
        if (vs[i]) p[++p[0]]=i;
        for (int j=i*i;j<=n;j+=i) vs[j]=0;
    }
}

不过欧拉筛可以把复杂度降成O(n)的，因为它保证每个合数会且仅会筛一次。

先写代码：

void makep(){
    p[0]=0; memset(vs,1,sizeof(vs)); vs[0]=vs[1]=0;
    for (int i=2;i<=n;i++){
        if (vs[i]) p[++p[0]]=i;
        for (int j=1;j<=p[0]&&i*p[j]<=n;j++){
            vs[i*p[j]]=0;
            if (i%p[j]==0) break;
        }
    }
}

现在重点就在证明这个算法效率是线性的。

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由于比较懒，所以下面这段话直接引进了，Orz Matchperson

1.当i是素数的时候，由于目前i是最大的素数，所以任何一个已知素数*i之前都不会出现过。

2.当i不是素数的时候，枚举j时的那个判断语句就起到作用了。设i唯一分解之后最小的素数是$p_{k1}$，那么>$p_{k1}$的素数都不会用来筛，为什么呢？设$i=p^{ak1}_{k1}∗p^{ak2}_{k2}∗…∗p^{akr}_{kr}$，如果用了大于$p_{k1}$的素数比如${p_{k2}}$，${i*p_{k2}}$就会被筛，但是实际上，$i∗p_{k2}/p_{k1}(i<i∗p_{k2}/p_{k1}<i∗p_{k2})$用$p_{k1}$也会筛到$i∗p_{k2}$，导致筛重，所以大于$p_{k1}$的素数并不需要用到。