商务与经济统计 --两总体均值和比例的推断

两总体均值和比例的推断

前面对一个总体的均值和比例如何进行区间估计以及假设检验
本文说明如何对两个总体进行区间估计和假设检验

两总体均值之差的推断：$\sigma_1$和$\sigma_2$已知

令$u_1$和$u_2$分别表示总体1和总体2的均值，本节介绍两均值之差：$u_1 - u_2$的统计推断

独立简单随机样本：从总体1中抽取一个容量为$n_1$的简单随机样本，从总体2中抽取一个容量为$n_2$的简单随机样本 两个样本是相互独立抽取的

假设两个总体的标准差$\sigma_1$和$\sigma_2$是已知的，如何计算误差范围以及计算两总体均值之间的区间估计

$u_1 - u_2$的区间估计

两个总体均值之差的点估计量 : $\bar x_1 - \bar x_2$

$\bar x_1- \bar x_2$的标准误差: $\sigma_{\bar x_1 - \bar x_2} = \sqrt {\frac {\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}$
两总体均值之差的区间估计：$\sigma_1$和$\sigma_2$已知：$\bar x_1 - \bar x_2 \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac {\sigma_1^2}{n_1}+ \frac {\sigma_2^2}{n_2}}$

$u_1 -u_2$ 的假设检验

假设检验的三种形式：上侧检验 下侧检验 双侧检验

实用建议：给出的区间估计与假设检验的大部分应用，随机样本都满足$n_1\ge30$及$n_2\ge30$ 一旦其中之一的样本容量小于30 总体的分布就需要重点加以考虑

作用：考察两总体样本之间的差异

$u_1 - u_2$的假设检验的检验统计量：$\sigma_1$和$\sigma_2$已知 $z = \frac{(\bar x_1 - \bar x_2)-D_0}{\sqrt {\frac {\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}$

两总体均值之差的推断：$\sigma_1$和$\sigma_2$未知

对两总体标准差$\sigma_1$和$\sigma_2$未知的情形， 将使用样本标准差$s_1$和$s_2$来估计未知的总体标准差
使用样本标准差时，区间估计与假设检验的程序将会建立在$t$分布的基础上而非标准正态分布

两个总体均值之差的区间估计：$\sigma_1$和$\sigma_2$未知：$\bar x_1 - \bar x_2 \pm t_{\alpha/2}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}$
用样本标准差$s_1$和$s_2$来估计$\sigma_1$和$\sigma_2$ 并用$t_{\alpha/2}$来代替$z_{\alpha/2}$ $t$分布
自由度：两个独立随机样本的$t$分布：$df = \frac {(\frac {s_1^2}{n_1}+ \frac {s_2^2}{n_2})^2}{\frac {1}{n_1-1}(\frac{s_1^2}{n_1})^2+ \frac {1}{n_2-1}(\frac{s_2^2}{n_2})^2}$

$u_1 - u_2$的假设检验

$u_1-u_2$的假设检验的检验统计量：$\sigma_1$和$\sigma_2$未知： $t = \frac{(\bar x_1 - \bar x_2)-D_0}{\sqrt {\frac {s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}}$

两总体均值之差的推断：匹配样本

在选择用于搜集生产时间数据及检验假设的抽样方法时，考虑两种方案
1. 独立样本设计：例子 抽取工人的一个简单随机样本 样本中每个工人使用生产方法1；抽取工人的另一个独立的简单随机样本 样本中每个工人使用生成方法2
2. 匹配样本设计：抽取工人的简单随机样本 每个工人先用一种生产方法，然后使用另一种生产方法

在匹配样本设计中，两种生产方法在相似条件下被检验 因此这一设计产生的抽样误差往往要比独立样本设计要小 主要因为在匹配样本设计中 两种生产方法被相同的工人使用 剔除了工人间的差异

匹配样本的样本均值 $\bar d = \frac {\sum d_i}{n}$ $d_i$为方法1和方法2之差
匹配样本的标准差 $s_d = \sqrt {\frac {\sum(d_i - \bar d)^2}{n-1}}$
匹配样本假设检验的检验统计量：$t = \frac{\bar d - u_d}{s_d/\sqrt n}$

两总体比例之差的推断

令$p_1$表示总体$1$的比例，$p_2$表示总体$2$的比例，讨论两总体比例之差$p_1 - p_2$的统计推断
为了对这个比例之差做出推断 选择两个独立的随机样本，这两个样本分别总体$1$的$n_1$个单位和总体$2$中$n_2$个单位组成

两总体比例之差的点估计量：$\bar p_1 - \bar p_2$
$\bar p_1 - \bar p_2$的标准误差：$\sigma_{\bar p_1 - \bar p_2} = \sqrt{\frac {p_1(1-p_1)}{n_1} + \frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}$
如果样本容量足够大 使得$n_1p_1$, $n1(1-p_1)$，$n_2p_2$,$n_2(1-p_2)$都大于或等于5，则$\bar p_1 - \bar p_2$的抽样分布近似服从于正态分布

两总体比例之差的区间估计：$\bar p_1 - \bar p_2 \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac {\bar p_1(1-\bar p_1)}{n_1}+\frac{\bar p_2(1-\bar p_2)}{n_2}}$

$p_1 - p_2$的假设检验

当$p_1=p_2=p$时， $\bar p_1 - \bar p_2$的标准误差 ：$\sigma_{\bar p_1 - \bar p_2} = \sqrt{\frac {p_1(1-p_1)}{n_1} + \frac{p_2(1-p_2)}{n_2}} = \sqrt{p(1-p)(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}})$

当$p_1=p_2=p$时，$p$的合并估计量：$\bar p =\frac{ n_1\bar p_1 + n_2\bar p_2 }{n_1 + n_2}$
$p_1-p_2$的假设检验的检验统计量：$z = \frac{\bar p_1 - \bar p_2}{\sqrt{p(1-p)(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}})}$