商务与经济统计学习 --多个比率的比较、独立性及拟合优度检验

多个比率的比较、独立性及拟合优度检验

前面介绍了关于一个和两个总体的总体均值、比率和方差的假设检验的统计推断方法
本章进行的假设检验所使用的检验统计量都基于$\chi^2$分布，在所有情形中数据都是分类型的 这些$\chi^2$检验是多用途的，并由检验下列的应用扩充了假设
P1：检验三个或多个总体比率的相等性
P2：检验两个分类变量的独立性
P3：检验一个总体的概率分布是否服从一个特殊的历史或理论的概率分布

三个或多个总体比率来的相等性的检验

两个总体比率的统计推断方法，其假设检验的结论基于标准正态检验统计量$z$。

这里使用检验统计量$\chi^2$，对三个或多个总体比率的相等性进行统计推断

$p_1$——总体$1$的总体比率
$p_2$——总体$2$的总体比率
$p_k$——总体$k$的总体比率
关于$k$个总体比率相等性的假设陈述如下：
$H_0: p_1=p_2= ... =p_k$
$H_a:$ 所有总体比率不全相等
如果样本数据和$\chi^2$检验计算结果表明$H_0$没有拒绝，不能断定$k$个总体比率有差异。然而，如果样本数据和$\chi^2$检验计算结果表明$H_0$被拒绝，有统计证据得出$k$个总体比率不全相等的结论 也就是说 一个或多个总体比率与其他总体比率不相等，可以进一步分析，以得出哪个或哪些总体比率与其他总体比率有显著差异

假设：$H_0: p_1=p_2=...=p3$ $H_a:$所有总体比例不全相等

    #观察频数——样本结果
    #              样本1         样本2           样本3              合计
    #   p          69          120              123               312
    #  1-p         56          80               52                188
    #  合计        125          200              175               500

根据原假设$H_0:p_1=p_2=p_3=\frac{312}{500}=0.624$为每一类总体比例的总体最佳估计量

在假定$H_0$为真时的期望频数：

$e_{ij} = \frac{第i行合计数\times第j列合计数}{总样本容量}$

# 原假设为真时：期望频数
#              总体1         总体2           总体3              合计
#   p  125x0.624=78         124.8           109.2              312
#  1-p         47          75.2             65.8                188
#  合计        125          200              175               500

检验统计量$\chi^2$

χ2=