【算法】一维差分

一维差分

在说明什么是差分之前先看一道例题

输入一个长度为 n 的整数序列。

接下来输入 m 个操作，每个操作包含三个整数 l,r,c表示将序列中 [l,r] 之间的每个数加上 c。

请你输出进行完所有操作后的序列。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。

第二行包含 n 个整数，表示整数序列。

接下来 m 行，每行包含三个整数 l，r，c表示一个操作。

输出格式

共一行，包含 n 个整数，表示最终序列。

数据范围

1≤n,m≤100000,
1≤l≤r≤n,
−1000≤c≤1000,
−1000≤整数序列中元素的值≤1000

输入样例：

6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1

输出样例：

3 4 5 3 4 2

如果按照朴素算法，每次都更新[l,r]区间上的所有数，那么时间复杂度会是O(n)

那么能否有一个算法使得不必更新区间上的所有数，就能实现区间上所有数最后是期望结果呢

我们想一下一维前缀和的思路，$a_i$ = $b_1$ + $b_2$ + $b_3$ + …… + $b_i$

如果a[]数组是b[]数组的前缀和数组

那么要让[l, r]上所有数加上元素c，可以让b[l] + c，这样从a[l]到最后所有元素都会加上元素c，但是我们不希望a[r]以后的元素也加上元素c，所以我们可以让b[r + 1] - c

这样核心问题就是要怎么构造这个b[]数组呢

假设a[]数组是由0,0,0……0通过b[]数组构造而来的，那么是不是可以认为是进行了n次(i, i, a[i])操作

也就是说整个一维差分就一个操作，即b[l] + c和b[r + 1] - c

import java.util.Scanner;
class Main{
    static int N = 100010;
    static int[] arr = new int[N];
    static int[] brr = new int[N];
    public static void main(String[] args){
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        int n = scanner.nextInt();
        int m = scanner.nextInt();
        //读取原数组
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            arr[i] = scanner.nextInt();
        }
        //假设原数组是从0 0 0 …… 0进行了n次[i,i,a[i]]次操作构建的
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            insert(i, i, arr[i]);
        }
        while(m-- > 0){
            int l = scanner.nextInt();
            int r = scanner.nextInt();
            int c = scanner.nextInt();
            insert(l, r, c);
        }
        //求差分数组的前缀和
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            brr[i] += brr[i - 1];
        }
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            System.out.print(brr[i] + " ");
        }
    }
    //更新差分数组
    public static void insert(int l, int r, int c){
        brr[l] += c;
        brr[r + 1] -= c;
    }
}