二分算法--整数二分

二分算法–整数二分

假如给定一个整数序列，{$a_1$, $a_2$, $a_3$, …, $a_n$}

我们将整个数列根据某个元素$a_x$将数列分成左右两个部分（某一部分可以包含$a_x$）

首先我们定义一个mid

如果check()函数是判断蓝色规则

• check(mid)为true，也就是mid元素在蓝色框框中，我们更新边界为[mid, r]
• check(mid)为false，也就是mid元素不在蓝色框框中，我们更新边界为[l, mid - 1]

int l = 0, r = n - 1;
while(l < r){
    int mid = l + r + 1 >> 1;
    if(check(x)) l = mid;
    else r = mid - 1;
}

这里解释一下为什么求mid的时候要加1，我们知道/号是向下整除，如果此时 l = r - 1，而且check(x)为true时

mid = （r - 1 + r）/ 2 = l

l = mid = l，此时就会形成死循环

如果check()函数是判断红色规则

• check(x)为true，也就是mid元素在红色框框中，我们更新边界为[l, mid]
• check(x)为false，也就是mid元素不在红色框框中，我们更新边界为[mid + 1， r]

int l = 0, r = n - 1;
while(l < r){
    int mid = l + r >> 1;
    if(check(x)) r = mid;
    else l = mid + 1;
}

【例题】

给定一个按照升序排列的长度为 n 的整数数组，以及 q 个查询。

对于每个查询，返回一个元素 k 的起始位置和终止位置（位置从 0 开始计数）。

如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

输入格式

第一行包含整数 n 和 q，表示数组长度和询问个数。

第二行包含 n 个整数（均在 1∼10000范围内），表示完整数组。

接下来 q 行，每行包含一个整数 k，表示一个询问元素。

输出格式

共 q 行，每行包含两个整数，表示所求元素的起始位置和终止位置。

如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

数据范围

1≤n≤100000
1≤q≤10000
1≤k≤10000

输入样例：

6 3
1 2 2 3 3 4
3
4
5

输出样例：

3 4
5 5
-1 -1

C++代码

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
int m,n;
int q[N];
int main(){
    scanf("%d",&n);
    scanf("%d",&m);
    for(int i = 0; i < n; i++) scanf("%d",&q[i]);
    while(m--){
        int x;
        scanf("%d",&x);
        int l = 0, r = n - 1;
        while(l < r){
            int mid = l + r >> 1;
            if(q[mid] >= x) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        if(q[l] != x) cout << "-1 -1" << endl;
        else{
            cout << l << ' ';
            int l = 0, r = n - 1;
            while(l < r){
                int mid = l + r + 1 >> 1; 
                if(q[mid] <= x) l = mid;
                else r = mid - 1;
            }
            cout << l << endl;
        }
    }
    return 0;
}

Java代码

import java.util.Scanner;
public class Main {
    static final int N = 100010;
    static int m, n;
    static int[] q = new int[N];
    
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        n = scanner.nextInt();
        m = scanner.nextInt();
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            q[i] = scanner.nextInt();
        }
        while (m-- > 0) {
            int x = scanner.nextInt();
            int l = 0, r = n - 1;
            while (l < r) {
                int mid = l + r >> 1;
                if (q[mid] >= x) {
                    r = mid;
                } else {
                    l = mid + 1;
                }
            }
            if (q[l] != x) {
                System.out.println("-1 -1");
            } else {
                System.out.print(l + " ");
                l = 0;
                r = n - 1;
                while (l < r) {
                    int mid = l + r + 1 >> 1;
                    if (q[mid] <= x) {
                        l = mid;
                    } else {
                        r = mid - 1;
                    }
                }
                System.out.println(l);
            }
        }
        scanner.close();
    }
}