对数正态分布LogNormal

如果$\ln X\sim \mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$，那么$X$服从对数正态分布，它的PDF是：$\frac{1}{x\sigma \sqrt{2\pi }}\exp \left(-\frac{(\ln x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right)$

图例

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm, lognorm

# 设置参数
mu = 0.0# 正态分布的均值
sigma = 0.5 # 正态分布的标准差

# 生成x轴数据
x_normal = np.linspace(-3, 3, 500)# 正态分布定义域：实数范围
x_lognormal = np.linspace(0.01, 5, 500) # 对数正态定义域：x > 0

# 计算PDF
pdf_normal = norm.pdf(x_normal, mu, sigma) # 正态分布PDF
pdf_lognormal = lognorm.pdf(x_lognormal, s=sigma, scale=np.exp(mu))# 对数正态PDF

# 绘制图形
plt.figure(figsize=(12, 5))

# 子图1：正态分布
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(x_normal, pdf_normal, 'b-', lw=2, label=f'N(μ={
     
     mu}, σ={
     
     sigma})')
plt.title('Normal Distribution PDF')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('Probability Density')
plt.legend()
plt.grid(True)

# 子图2：对数正态分布
plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(x_lognormal, pdf_lognormal, 'r-', lw=2, label=f'Log-N(μ={
     
     mu}, σ={
     
     sigma})')
plt.title('Log-Normal Distribution PDF')
plt.xlabel('x (x > 0)')
plt.ylabel('Probability Density')
plt.legend()
plt.grid(True)

plt.tight_layout()
plt.show()

公式推导

关键在于理解概率密度变换（Probability Density Transformation） 的数学原理。重点解释为什么分母是$x$而不是$\ln x$。

核心问题

已知 $\ln X\sim \mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$，即 Y=ln⁡XY = \ln X