对数正态分布

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分类专栏：数学文章标签：概率论

于 2021-10-31 19:14:11 首次发布

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对数正态分布

在概率论与统计学中，任意随机变量的对数服从正态分布，则这个随机变量服从的分布称为对数正态分布。如果 $Y$ 是正态分布的随机变量，则 $e x p (Y)$ （指数函数）为对数正态分布；同样，如果

正态分布

令 $\Phi \left( y \right)$ ， $\varphi \left( y \right)$ 分别表示正态分布 $N\left( \mu ,{{\sigma }^{2}} \right)$ 的CDF和PDF，其中
$\varphi \left( y \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{{e}^{-\frac{{{\left( y-\mu \right)}^{2}}}{2{{\sigma }^{2}}}}},-\infty <y<+\infty$
累积分布函数CDF是指随机变量 $Y$ 小于或等于 $y$ 的概率，正态分布的CDF用概率密度函数表示为：
$F\left( y;\mu ,\sigma \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\int_{-\infty }^{y}{{{e}^{-\frac{{{\left( t-\mu \right)}^{2}}}{2{{\sigma }^{2}}}}}}dt$
正态分布的CDF能够由一个叫做误差函数的特殊函数表示：
$\Phi \left( y \right)=\frac{1}{2}\left[ 1+erf\left( \frac{y-\mu }{\sigma \sqrt{2}} \right) \right]$

正态分布与对数正态分布

因 $Y=\ln X\sim N\left( \mu ,{{\sigma }^{2}} \right)$ ，则 $X={{e}^{Y}}$ 且 $Y\sim N\left( \mu ,{{\sigma }^{2}} \right)$ ，于是当 $x > 0$ 时，
${{F}_{X}}\left( x \right)=\Pr \left\{ X\le x \right\}=\Pr \left\{ {{e}^{Y}}\le x \right\}=\Pr \left\{ Y\le \ln \left( x \right) \right\}=\Phi \left( \ln x \right)$