国立台湾大学叶丙成《机率》课程学习-chapter4-随机变量-累积分布函数CDF-概率质量函数PMF-伯努利分布-二项分布-均匀分布
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4.1 随机变量
4.1.1 随机变量(random variable,R.V.)定义
随机变量(random variable,R.V.)定义:是一个用来把实验结果(outcome)数字化的表示方式。
存在的意义:可以让概率的推导更数学,更简明
注:随机变数通常使用大写英文字母表示
4.1.2 随机变量的本质
随机变量的本质?函数!
随机变量其实是一个函数,给 X X X一个outcome,就返回一个对应的数字。数学上的表示法: X : S → ℜ X:S\to \Re X:S→ℜ(映射)
4.1.3 随机变量的种类
- 离散随机变量(Discrete R.V.)
EX1:店员的微笑: X ( 笑 ) = 1 , X ( 不 笑 ) = 0 ⇒ X = 0 , X = 1 X(笑)=1,X(不笑)=0\Rightarrow X=0,X=1 X(笑)=1,X(不笑)=0⇒X=0,X=1
EX2:小美的三个司机: X ( 明 ) = 0 , X ( 华 ) = 1 , X ( 圆 ) = 2 ⇒ X = 0 , X = 1 , X = 2 X(明)=0,X(华)=1,X(圆)=2\Rightarrow X=0,X=1,X=2 X(明)=0,X(华)=1,X(圆)=2⇒X=0,X=1,X=2
EX3:小明告白多少次才能成功: X ( 0 次 ) = 0 , X ( 1 次 ) = 1 , X ( 2 次 ) = 2 , ⋯ ⇒ X = 0 , X = 1 , X = 2 , … X(0次)=0,X(1次)=1,X(2次)=2,\dots\Rightarrow X=0,X=1,X=2,\dots X(0次)=0,X(1次)=1,X(2次)=2,⋯⇒X=0,X=1,X=2,…
注:离散随机变量并不代表只有有限多个case(可以是可数无穷多个)。 - 连续随机变量(continuous R.V)
EX1:幸运之轮: X X X可以说 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1]之间的任意数字
注:连续随机变量的值是有无穷多个,而且是不可数的无穷多个。 - 什么是可数的,什么是不可数的?
- 可数的:一个集合如果是可数的,这代表它包含的东西是可以一个个被数的,不管用什么方法数它里面的东西,它里面的任意一个东西,总是会被数到的。
EX:正偶数集合 { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , …   } \{2, 4, 6, 8,10,\dots \} { 2,4,6,8,10,…}是可数的,从中随意取一个数字,总是可以数到的。 - 不可数的:一个集合如果是不可数的,这代表它包含的东西是无法可以一个个被数的,不管用什么方法数它里面的东西,它里面一定有一样东西是你没数到的!
EX:0到1之间的所有数字的集合是不可数的! - 扩展-无穷多的世界:
- EX1:正整数的集合和正偶数的集合相比,哪个集合里面的东西比较多?答案是一样多,正整数的集合中的值乘2即可和正偶数集合产生一一对应关系。
- EX1:“长度为1的线段上的点”与“边长为1的正方形平面上的点”,这两个集合,哪一个点的数量比较多?答案是一样多。
- 注:在无穷多的世界里面,评价两个集合相等,不能使用“你中有我,我中有你”。而是使用是否可以找到一个方法(映射),使两个无穷集合可以找到一个一一对应关系,如果有,两无穷集合是相等的。
- 可数的:一个集合如果是可数的,这代表它包含的东西是可以一个个被数的,不管用什么方法数它里面的东西,它里面的任意一个东西,总是会被数到的。
4.1.4 随机变量的函数
阿宅若看到店员微笑,就会点200的套餐。如果店员不笑,他就点15的饮料。请问阿宅的消费金额 W W W是随机变量嘛?
解:店员表情可以由随机变量 X X X代表: X ( 微 笑 ) = 0 , X ( 不 笑 ) = 15 X(微笑)=0,X(不笑)=15 X(微笑)=0,X(不笑)=15
W W W是 X X X的函数: W ( X ( 微 笑 ) ) = 200 , W ( X ( 不 笑 ) ) = 15 W(X(微笑))=200,W(X(不笑))=15 W(X(微笑))=200,W(X(不笑))=15
所以 W W W也是喂outcome吐数字!因此, W W W也是一个随机变量!
注:随机变量的函数,也是个随机变量
4.2 累积分布函数(cumulative distribution function,CDF)
4.2.1 何谓CDF?
对任一个随机变量 X X X,我们定义其 C D F CDF CDF为
F X ( x ) = def P ( X ≤ x ) F_X(x) \overset{\text{def}}{=} P(X \leq x) FX(x)=defP(X≤x)
注:含等号
EX:幸运之轮
F X ( 0.5 ) = P ( x ≤ 0.5 ) = 1 2 F_X(0.5)=P(x\le 0.5)=\frac{1}{2} FX(0.5)=P(x≤0.5)=21
4.2.2 CDF用处?
- 最有用的用途
计算 X X X落在某范围内的概率
EX1:如图计算 P ( 3 < X ≤ 5 ) P(3<X\le5) P(3<X≤5)的概率
可以将其转化为两个 C D F CDF CDF相减,
P ( 3 < X ≤ 5 ) = P ( X ≤ 5 ) − P ( X ≤ 3 ) P(3<X\le5)=P(X\le5)-P(X\le3) P(3<X≤5)=P(X≤5)−P(X≤3)
EX2:对比 P ( 3 < X ≤ 5 ) P(3<X\le5) P(3<X≤5)与 P ( 3 ≤ X ≤ 5 ) P(3\le X\le5) P(3≤X≤5)区别(差一个等号):
P ( 3 ≤ X ≤ 5 ) = P ( X ≤ 5 ) − P ( X ≤ 3 ) + P ( X = a ) P(3\le X\le5)=P(X\le5)-P(X\le3) + P(X=a) P(3≤X≤5)=P(X≤5)−P(X≤3)+P(X=a) - 离散随机变量的 C D F CDF CDF长什么样?(阶梯状)
EX: X X X为骰子的点数,故 P ( X = 1 ) = P ( X = 2 ) = P ( X = 3 ) = P ( X = 4 ) = P ( X = 5 ) = P ( X = 6 ) = 1 2 P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=\frac{1}{2} P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=21
解: C D F : F X ( x ) = P ( X ≤ x ) CDF:F_X(x)=P(X\le x) CDF:FX(x)=P(X≤x)- F X ( 0.3 ) = P ( X ≤ 0.3 ) = 0 F_X(0.3)=P(X\le 0.3)=0 F