叶丙成-概率-chapter4-随机变量-累积分布函数CDF-概率质量函数PMF-伯努利分布-二项分布-均匀分布

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4.1 随机变量

4.1.1 随机变量(random variable,R.V.)定义

随机变量(random variable,R.V.)定义：是一个用来把实验结果(outcome)数字化的表示方式。
存在的意义：可以让概率的推导更数学，更简明
注：随机变数通常使用大写英文字母表示

4.1.2 随机变量的本质

随机变量的本质？函数！
随机变量其实是一个函数，给$X$一个outcome，就返回一个对应的数字。数学上的表示法：$X:S\to \Re$(映射)

4.1.3 随机变量的种类

1. 离散随机变量(Discrete R.V.)
   EX1:店员的微笑：$X(笑)=1,X(不笑)=0\Rightarrow X=0,X=1$
   EX2:小美的三个司机：$X(明)=0,X(华)=1,X(圆)=2\Rightarrow X=0,X=1,X=2$
   EX3:小明告白多少次才能成功：$X(0次)=0,X(1次)=1,X(2次)=2,\cdots \Rightarrow X=0,X=1,X=2,\dots$
   注：离散随机变量并不代表只有有限多个case(可以是可数无穷多个)。
2. 连续随机变量(continuous R.V)
   EX1:幸运之轮：$X$可以说$[0,1]$之间的任意数字
   注：连续随机变量的值是有无穷多个，而且是不可数的无穷多个。
3. 什么是可数的，什么是不可数的？
   • 可数的：一个集合如果是可数的，这代表它包含的东西是可以一个个被数的，不管用什么方法数它里面的东西，它里面的任意一个东西，总是会被数到的。
     EX:正偶数集合 { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , …   } \{2, 4, 6, 8,10,\dots \} { 2,4,6,8,10,…}是可数的，从中随意取一个数字，总是可以数到的。
   • 不可数的：一个集合如果是不可数的，这代表它包含的东西是无法可以一个个被数的，不管用什么方法数它里面的东西，它里面一定有一样东西是你没数到的！
     EX：0到1之间的所有数字的集合是不可数的！
   • 扩展-无穷多的世界：
     - EX1:正整数的集合和正偶数的集合相比，哪个集合里面的东西比较多？答案是一样多，正整数的集合中的值乘2即可和正偶数集合产生一一对应关系。
     - EX1:“长度为1的线段上的点”与“边长为1的正方形平面上的点”，这两个集合，哪一个点的数量比较多？答案是一样多。
     - 注：在无穷多的世界里面，评价两个集合相等，不能使用“你中有我，我中有你”。而是使用是否可以找到一个方法(映射)，使两个无穷集合可以找到一个一一对应关系，如果有，两无穷集合是相等的。

4.1.4 随机变量的函数

阿宅若看到店员微笑，就会点200的套餐。如果店员不笑，他就点15的饮料。请问阿宅的消费金额$W$是随机变量嘛？
解：店员表情可以由随机变量$X$代表：$X(微笑)=0,X(不笑)=15$
$W$是$X$的函数：$W(X(微笑))=200，W(X(不笑))=15$
所以$W$也是喂outcome吐数字！因此，$W$也是一个随机变量！
注：随机变量的函数，也是个随机变量

4.2 累积分布函数(cumulative distribution function,CDF)

4.2.1 何谓CDF？

对任一个随机变量$X$，我们定义其$CDF$为
$$F_X(x)\stackrel{\text{def}}{=}P(X\le x)$$
注：含等号
EX:幸运之轮
$$F_X(0.5)=P(x\le 0.5)=\frac{1}{2}$$

4.2.2 CDF用处？

1. 最有用的用途
   计算$X$落在某范围内的概率
   EX1:如图计算$P(3<X\le 5)$的概率
   
   可以将其转化为两个$CDF$相减，
   $$P(3<X\le 5)=P(X\le 5)-P(X\le 3)$$
   EX2:对比$P(3<X\le 5)$与$P(3\le X\le 5)$区别(差一个等号):
   $$P(3\le X\le 5)=P(X\le 5)-P(X\le 3)+P(X=a)$$
2. 离散随机变量的$CDF$长什么样？(阶梯状)
   EX:$X$为骰子的点数，故$P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=\frac{1}{2}$
   解：$CDF:F_X(x)=P(X\le x)$
   • F X ( 0.3 ) = P ( X ≤ 0.3 ) = 0 F_X(0.3)=P(X\le 0.3)=0 F