叶丙成-概率-chapter4-随机变量-累积分布函数CDF-概率质量函数PMF-伯努利分布-二项分布-均匀分布

本文介绍了随机变量的概念,包括离散和连续随机变量,以及它们的本质——函数。重点讲解了累积分布函数(CDF)的定义、用途及其性质,并通过实例展示了如何计算CDF。此外,还探讨了概率质量函数(PMF)在离散随机变量中的应用,以及伯努利、二项和均匀分布的特性。学习这些概率分布有助于理解和模拟现实世界中各种事件的概率模型。

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4.1 随机变量

4.1.1 随机变量(random variable,R.V.)定义

随机变量(random variable,R.V.)定义:是一个用来把实验结果(outcome)数字化的表示方式。
存在的意义:可以让概率的推导更数学,更简明
:随机变数通常使用大写英文字母表示

4.1.2 随机变量的本质

随机变量的本质?函数
随机变量其实是一个函数,给 X X X一个outcome,就返回一个对应的数字。数学上的表示法: X : S → ℜ X:S\to \Re X:S(映射)

4.1.3 随机变量的种类
  1. 离散随机变量(Discrete R.V.)
    EX1:店员的微笑: X ( 笑 ) = 1 , X ( 不 笑 ) = 0 ⇒ X = 0 , X = 1 X(笑)=1,X(不笑)=0\Rightarrow X=0,X=1 X()=1,X()=0X=0,X=1
    EX2:小美的三个司机: X ( 明 ) = 0 , X ( 华 ) = 1 , X ( 圆 ) = 2 ⇒ X = 0 , X = 1 , X = 2 X(明)=0,X(华)=1,X(圆)=2\Rightarrow X=0,X=1,X=2 X()=0,X()=1,X()=2X=0,X=1,X=2
    EX3:小明告白多少次才能成功: X ( 0 次 ) = 0 , X ( 1 次 ) = 1 , X ( 2 次 ) = 2 , ⋯ ⇒ X = 0 , X = 1 , X = 2 , … X(0次)=0,X(1次)=1,X(2次)=2,\dots\Rightarrow X=0,X=1,X=2,\dots X(0)=0,X(1)=1,X(2)=2,X=0,X=1,X=2,
    :离散随机变量并不代表只有有限多个case(可以是可数无穷多个)。
  2. 连续随机变量(continuous R.V)
    EX1:幸运之轮: X X X可以说 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1]之间的任意数字
    :连续随机变量的值是有无穷多个,而且是不可数的无穷多个。
  3. 什么是可数的,什么是不可数的?
    • 可数的:一个集合如果是可数的,这代表它包含的东西是可以一个个被数的,不管用什么方法数它里面的东西,它里面的任意一个东西,总是会被数到的。
      EX:正偶数集合 { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , …   } \{2, 4, 6, 8,10,\dots \} { 2,4,6,8,10,}是可数的,从中随意取一个数字,总是可以数到的。
    • 不可数的:一个集合如果是不可数的,这代表它包含的东西是无法可以一个个被数的,不管用什么方法数它里面的东西,它里面一定有一样东西是你没数到的!
      EX:0到1之间的所有数字的集合是不可数的!
    • 扩展-无穷多的世界:
      - EX1:正整数的集合和正偶数的集合相比,哪个集合里面的东西比较多?答案是一样多,正整数的集合中的值乘2即可和正偶数集合产生一一对应关系。
      - EX1:“长度为1的线段上的点”与“边长为1的正方形平面上的点”,这两个集合,哪一个点的数量比较多?答案是一样多。
      - :在无穷多的世界里面,评价两个集合相等,不能使用“你中有我,我中有你”。而是使用是否可以找到一个方法(映射),使两个无穷集合可以找到一个一一对应关系,如果有,两无穷集合是相等的。
4.1.4 随机变量的函数

阿宅若看到店员微笑,就会点200的套餐。如果店员不笑,他就点15的饮料。请问阿宅的消费金额 W W W是随机变量嘛?
解:店员表情可以由随机变量 X X X代表: X ( 微 笑 ) = 0 , X ( 不 笑 ) = 15 X(微笑)=0,X(不笑)=15 X()=0,X()=15
W W W X X X的函数: W ( X ( 微 笑 ) ) = 200 , W ( X ( 不 笑 ) ) = 15 W(X(微笑))=200,W(X(不笑))=15 W(X())=200W(X())=15
所以 W W W也是喂outcome吐数字!因此, W W W也是一个随机变量!
注:随机变量的函数,也是个随机变量

4.2 累积分布函数(cumulative distribution function,CDF)

4.2.1 何谓CDF?

对任一个随机变量 X X X,我们定义其 C D F CDF CDF
F X ( x ) = def P ( X ≤ x ) F_X(x) \overset{\text{def}}{=} P(X \leq x) FX(x)=defP(Xx)
注:含等号
EX:幸运之轮
F X ( 0.5 ) = P ( x ≤ 0.5 ) = 1 2 F_X(0.5)=P(x\le 0.5)=\frac{1}{2} FX(0.5)=P(x0.5)=21

4.2.2 CDF用处?
  1. 最有用的用途
    计算 X X X落在某范围内的概率
    EX1:如图计算 P ( 3 &lt; X ≤ 5 ) P(3&lt;X\le5) P(3<X5)的概率
    在这里插入图片描述
    可以将其转化为两个 C D F CDF CDF相减,
    P ( 3 &lt; X ≤ 5 ) = P ( X ≤ 5 ) − P ( X ≤ 3 ) P(3&lt;X\le5)=P(X\le5)-P(X\le3) P(3<X5)=P(X5)P(X3)
    EX2:对比 P ( 3 &lt; X ≤ 5 ) P(3&lt;X\le5) P(3<X5) P ( 3 ≤ X ≤ 5 ) P(3\le X\le5) P(3X5)区别(差一个等号):
    P ( 3 ≤ X ≤ 5 ) = P ( X ≤ 5 ) − P ( X ≤ 3 ) + P ( X = a ) P(3\le X\le5)=P(X\le5)-P(X\le3) + P(X=a) P(3X5)=P(X5)P(X3)+P(X=a)
  2. 离散随机变量的 C D F CDF CDF长什么样?(阶梯状)
    EX: X X X为骰子的点数,故 P ( X = 1 ) = P ( X = 2 ) = P ( X = 3 ) = P ( X = 4 ) = P ( X = 5 ) = P ( X = 6 ) = 1 2 P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=\frac{1}{2} P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=21
    解: C D F : F X ( x ) = P ( X ≤ x ) CDF:F_X(x)=P(X\le x) CDF:FX(x)=P(Xx)
    • F X ( 0.3 ) = P ( X ≤ 0.3 ) = 0 F_X(0.3)=P(X\le 0.3)=0 F
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