Game Theory: 公平博弈

Notes: The following excerpt is from a book 《GAME THEORY》by Thomas && S.Ferguson and a paper by Ulyssess.

一. 公平聯合博弈

公平聯合博弈（Impartial combinatorial game ）：兩個參與者，輪流活動；狀態集合有限；對每個局面（position），每個參與者有相同的地位； 在“通常規則”下，最後一個活動的參與者贏；滿足“結束條件”，即博弈在有限次“活動”之後必然會結束。由此可以看出沒有平手（draw）的出現！

P局面（P-positions ）和N局面（N-positions）是被遞歸地定義的：1）所有的最終局面為P局面；2）從每一個N局面出發，存在至少一次可選“活動”到達P局面；3）從每一個P局面出發，每一次“活動”都指向N局面。P局面是必敗局面，而N局面是必勝局面。

由歸納法可知：每一個局面要么是P局面，要么是N局面。

圖博弈（Graph Game）是和DAG（directed acyclic graph）聯繫在一起的。表示為G=(X,F) ，其中X為狀態集合，而F為X上的一個函子，F(x)表示狀態x時所有可能的可選活動能到達的狀態，簡稱x的可選狀態集合（the followers of x）。如果F(x)為空集，則表示x為最終局面。

圖博弈的和（The Sum of n Graph Games）：用Gi=(Xi, Fi)表示n個公平組合博弈，i=1~n；記G =(X,F)為n個博弈的和，其中G = G1+···+Gn ，X = X1×···×Xn，F(x)= F(x1,...,xn)= F1(x1) ×{x2}×···×{xn} U ··· ∪{x1}×{x2}×···× Fn(xn).

通過畫圖，可以知道每個公平聯合博弈可以表示為一個圖博弈！

二.SG函數（Sprague-Grundy function）

首先定義集函數mex (Minimal EXclusive)：對於由若干自然數組成的集合S，mex(S)表示不在S的最小非負自然數 。

接著定義SG函數SG : V → N 為SG(u) = mex{SG(w) : w ∈ F(u)} = min{n ≥ 0: n != SG(w) for w ∈ F(u)}.

用SG函數可以有效地判斷一個局面是P的還是N的：對一個局面u，1）如果SG(u)=0，則u是P局面；2）如果SG(u)!=0，則u是一個N局面。（用歸納法證明）

SG定理：G =(X,F)為n個公平組合博弈G1，．．．，Gn 的和，每個Gk (k = 1, 2, . . . , n) 為有限DAG. 則對於每個u = (u1, . . . , un) ∈ G，有

SG(u) = SG(u1) ⊕ . . . ⊕ SG(un).

proof: We divide the proof into two parts

1) For any given nonnegative integer a < b, there is w ∈ F(u) such that SG(w)=a;