14、渡边贝叶斯理论核心：WAIC的本质与后验分布推广

渡边贝叶斯理论核心：WAIC的本质与后验分布推广

1. 引言

在贝叶斯理论的研究中，渡边贝叶斯理论为处理非规则情况提供了重要的思路。本文将深入探讨其核心内容，包括状态密度公式的推导以及后验分布的推广。通过对这些内容的研究，我们可以更好地理解在非规则条件下贝叶斯分析的方法和应用。

2. 状态密度公式

2.1 积分计算与理论基础

在研究过程中，我们需要计算形如 $\int_{g([0,1]^d)} [\text{function of } \theta]d\theta = \int_{[0,1]^d} [\text{function of } g(u)]|g’(u)|du$ 的积分。渡边贝叶斯理论基于这样的思想：当 $u^{\kappa} = f(g(u))$ 且 $|g’(u)| = b(u)|u|^h$（根据希罗纳卡定理）时，将 $u \in [0, 1]^d$ 的每个值按 $t = u^{\kappa}$ 进行分类，目的是评估足够小的 $t$ 值对应的积分。

2.2 δ 函数与积分定义

我们将 $\delta$ 视为一个函数，对于 $u \in [0, 1]^d$ 和 $t \in [0, \infty)$，推导 $\delta(t - u^{\kappa})|u|^h b(u)du$ 的具体值（命题 30，状态密度公式）。其中，$b(u)$ 被假设为当局部坐标 $u$ 在 $[0, 1]^d$ 内移动时具有正值的解析函数。

δ 函数的定义如下：对于任何无限可微函数 $\phi(x)$，满足 $\int \delta(x)\phi(x)dx = \phi(0)$ 的函数 $\delta(