一、红黑树简介
1.1红黑树的性质
不同于AVL树的严格平衡，红黑树更多的是一种近似平衡，它符合如下性质：
①每个节点不是红色就是黑色
②根节点是黑色的
③如果一个节点是红色，那它的两个孩子是黑色的
这一条限制了一条路径没有连续的红色节点
④对于每个节点，对于该节点到其后代所有叶节点的简单路径上，均包含相同数目的黑色节点
这一条限制了每条路径的黑色节点数目相同
⑤（只用于判断路径条数）每个叶子节点都是黑色的，这里的叶子节点指的是空节点，而不是常规意义上的完整节点
这里的叶子节点又称NIL节点，在判断路径条数时候使用，每一个NIL节点都对应一条路径
综上，通过保持以上性质，红黑树可以保证：最长路径的节点个数不超过最短路径的二倍
即 最短路径长度*2 >= 最长路径长度
1.1补：空树也是红黑树
1.2一种极端情况下的红黑树
对于一颗红黑树而言，在规则限制下的最短路径为全黑的路径，而最长路径为一黑一红的路径，例如：
它拥有规则限制的两种极端情况：
其最短路径就是13->8
最长路径就是13->17->25->27
但是，实际上在一棵红黑树当中，规则限制的两种极端情况可能并不存在，此时最短路径和最长路径以实际为准
1.3红黑树与AVL树效率的比较
①在查找的时候，严格来说AVL树的效率为logn，而红黑树中最长路径的效率为2*logn，此时的AVL树效果要好，但实际在查找操作执行的时候，logn与2*logn并不会在时间上差别明显
②在插入和删除的时候，红黑树往往更具有优势
1.4红黑树节点的结构
红黑树的结构不再需要平衡因子，但是需要一个新的类型“颜色”，我们可以通过枚举来实现这一新的类型
enum Color
{
RED,
BLACK
};此外还需要二叉搜索树中基本的几个属性构成一个三叉链表，因为要控制颜色，所以依旧需要存储父节点：
template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{
pair<K, V> _kv;
RBTreeNode<K, V>* _left;
RBTreeNode<K, V>* _right;
RBTreeNode<K, V>* _parent;
Color _col;
};二、红黑树的模拟实现——插入
2.1插入时的颜色设置
我们在插入一个新节点时，不论插入红色还是黑色，都会不可避免地对红黑树的性质造成改变，但假设两种不同情况并观察会发现：
①若插入黑色节点，一定会破坏规则4
②若插入红色节点，可能破坏规则3，但不一定会破坏；此外还需要注意插入根节点需要变色一次
综上，对比两种并选择一种最优的方式，我们规定新插入节点是红色节点
2.2插入时的情况分析
为了便于介绍，我们标记几个符号：
g：grandfather
p：parent
u：uncle
cur：插入的新节点
2.2.1情况一：cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红
抽象图：
abcde为抽象内容，我们的处理方式是：p和u改成黑色，g改为红色，然后把g当成cur继续向上调整，如果g是根节点，则还需要把颜色变回黑色
原图： 处理后：
①当abcde都为空的时候
此时情况较为简单，只需要按照标准变换方式对颜色进行变换即可
补：为什么要把g变红？
我们抽象图对应的可能是整棵树，也可能是一棵树的子树，
如果是一棵树的子树，g仍然为黑的话会导致该子树的黑色节点数目多1个，会违反规则4（这样其实和插入一个黑色节点造成的影响类似了）
②当cde是具有一个黑色节点的红黑树
我们应该知道，此时的cur起初不是红色，而是经过下面节点进行一次变换后，cur代替了原来的grandfather而变成红
即起初：
在经过了一次变换后才形成之前的情况，此时新节点插入的位置可能是ab四个孩子的位置
补：分析一下此时的可能数目
此时的cde均为有一个黑节点的红黑树，均有三种可能的情况，加上cur插入的四种可能
综上共有：3*3*3*4=108种可能情况
③当cde是具有两个黑色节点的红黑树
此时的cur是经过两次变换才变红的，而对于一个拥有两个黑色节点的红黑树而言，可能的情况数目会出现爆炸式增长，而更多的黑色节点难以直接计算
2.2.2情况二：cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑
抽象图：
abcde为抽象内容，我们的处理方式主要是旋转，因为此时已经难以通过单纯的变换颜色来控制平衡了，这里我们暂时只抽象
p为g的左孩子
cur为p的左孩子
这种情况
原图： 处理后：
①当u不存在时，abcde一定为空
1> p为g的左孩子，cur为p的左孩子
处理方式：进行以g为parent的右单旋，旋转后p变黑，g变红
原图： 处理后：
2>p为g的左孩子，cur为p的右孩子
处理方式：进行左右双旋，旋转后cur变黑，g变红
原图： 处理后：
3>p为g的右孩子，cur为p的右孩子
处理方式：进行以g为parent的左单旋，旋转后p变黑，g变红
原图： 处理后：
4>p为g的右孩子，cur为p的左孩子
处理方式：进行右左双旋，旋转后cur变黑，g变红
原图： 处理后：
②当u存在且为黑的时候
1> de为红或空，c为有一个黑色节点的红黑树
cur原来是黑，由情况一变过来
处理：先进行情况一的变色，然后以parent进行右单旋，旋转后p变黑，g变红
先变色： 再右单旋：
补：分析一下此时的可能数目
de：可能性都有两种，红和空
新节点：有四个可能插入的位置
c：可能性有三种
综上，2*2*3*4=48种不同可能
⭐情况汇总：
观察发现，在u存在且为黑的时候进行旋转与变色的处理过程都与u不存在的时候完全一样，我们由此可以推出他们其实属于同种处理情况。（余下处理方式参考u不存在即可）
2> de为有一个黑色节点的红黑树，c为有两个黑色节点的红黑树
cur经过两次情况一变换过来，同样会发生情况数的爆炸式增长
2.3插入的逻辑与代码实现
首先按照搜索二叉树的插入逻辑检查插入值的key是否重复，完成后进入通过颜色控制树的平衡这一过程：
大循环利用parent是否存在来控制：
2.3.1parent不存在：
插入的节点cur就是根节点，此时只需要把他的颜色变黑即可
2.3.2parent存在且为黑：
因为插入之前一定是一个标准的红黑树，所以此时parent为黑就说明循环更新已完成
2.3.3parent存在且为红：
需要继续循环处理，且因为parent为红节点而整棵树根节点应该是黑色的，所以grandfather一定存在，此时我们只需要关注uncle的情况即可
2.3.3.1uncle存在且为红：对应情况一
此时只要把parent和uncle变黑，把grandfather变红，
将grandfather置为新的cur，parent置为garandfather的parent，
再次进入循环即可
2.3.3.2uncle不存在：对应情况二第一种
此时可以确定cur就是新插入的节点，因为如果cur为更新上来的话黑色节点数目就不对了；
此时我们的处理可以按照2.2.2-①中的四种情况分别进行
2.3.3.3uncle存在且为黑：对应情况二第二种
此时可以确定cur一定经过情况一的变换，因为uncle为黑的时候，cur只有本来是黑才不会违反规则，此时cur一定会经历一个变色的过程，也就是情况一对应
此时我们的处理也可以按照2.2.2-①中的四种情况分别进行，因为在2.2.2-②中我们对情况进行总结时发现的结论在这个时候正好可以起作用
⭐2.3.3补：情况二会直接结束循环
除了情况一对应变色会导致grandfather变红，其他两种都对应情况二，在旋转之后grandfather都会变黑，即大循环已经无需再进行
2.3.4代码实现参考
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
_root->_col = BLACK;
return true;
}
//先检查一下有没有重复
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
return false;
}
cur = new Node(kv);
//没有重复，parent此时指向要插入节点的父节点，cur直接存新节点
if (kv.first < parent->_kv.first)
{
parent->_left = cur;
}
else
{
parent->_right = cur;
}
cur->_parent = parent;
while (parent && parent->_col == RED)
{
Node* grandfather = parent->_parent;
//如果parent是grandfather的左孩子
if (parent == grandfather->_left)
{
Node* uncle = grandfather->_right;
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
parent->_col = BLACK;
uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
else
{
if (cur == parent->_left)
{
// g
// p
//c
RotateR(grandfather);
grandfather->_col = RED;
parent->_col = BLACK;
}
else
{
// g
// p
// c
RotateL(parent);
RotateR(grandfather);
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
}
}
else
{
// g
// p
Node* uncle = grandfather->_left;
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
parent->_col = BLACK;
uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
else
{
if (cur == parent->_right)
{
// g
// p
// c
RotateL(grandfather);
grandfather->_col = RED;
parent->_col = BLACK;
}
else
{
// g
// p
// c
RotateR(parent);
RotateL(grandfather);
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
}
}
}
_root->_col = BLACK;
return true;
}2.4判红黑树是否平衡
2.4.1.逻辑分析
判断的过程还是要回归到红黑树的性质上
第一点不需要刻意实现，第二点用一个判断即可，关键在第三点和第四点上
第三点我们可以通过判断每个红色节点的父节点是否是红色来完成
而第四点我们的实现思路是：要计算每条路径上黑色节点的数目，可以在每个节点位置记录一个值num，这个值代表根节点到当前节点上的黑色节点总数，
要完成整棵树的遍历并且比较所有节点，我们选择使用前序递归遍历的方式，在递归前获取一个num参考值，以便在递归过程中与所有走完路径节点对应的num进行比较
2.4.2代码参考
bool IsBalance()
{
if (_root == nullptr)
return true;
if (_root->_col == RED)
{
return false;
}
// 获取参考值
int refNum = 0;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_col == BLACK)
{
++refNum;
}
cur = cur->_left;
}
return Check(_root, 0, refNum);
}
bool Check(Node* root, int blackNum, const int refNum)
{
if (root == nullptr)
{
//cout << blackNum << endl;
if (refNum != blackNum)
{
cout << "存在黑色节点的数量不相等的路径" << endl;
return false;
}
return true;
}
if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED)
{
cout << root->_kv.first << "存在连续的红色节点" << endl;
return false;
}
if (root->_col == BLACK)
{
blackNum++;
}
return Check(root->_left, blackNum, refNum)
&& Check(root->_right, blackNum, refNum);
}
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