加分二叉树 2003年NOIP全国联赛提高组

题目描述 Description

设一个n个节点的二叉树tree的中序遍历为（l,2,3,…,n），其中数字1,2,3,…,n为节点编号。每个节点都有一个分数（均为正整数），记第j个节点的分数为di，tree及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树subtree（也包含tree本身）的加分计算方法如下：

subtree的左子树的加分× subtree的右子树的加分＋subtree的根的分数

若某个子树为主，规定其加分为1，叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空

子树。

试求一棵符合中序遍历为（1,2,3,…,n）且加分最高的二叉树tree。要求输出；

（1）tree的最高加分

（2）tree的前序遍历

 

 

现在，请你帮助你的好朋友XZ设计一个程序，求得正确的答案。

输入描述 Input Description

第1行：一个整数n（n<=30），为节点个数。

第2行：n个用空格隔开的整数，为每个节点的分数（分数<=100）

输出描述 Output Description

第1行：一个整数，为最高加分（结果不会超过4,000,000,000）。

第2行：n个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。

样例输入 Sample Input

5

5 7 1 2 10

样例输出 Sample Output

145

3 1 2 4 5

数据范围及提示 Data Size & Hint

n（n<=30)

分数<=100

题解：

这是一道区间型dp，特别的地方是需要加上一个确定其范围内的father节点的数组。

因为题目要求树的中序遍历为1.2.3......n，所以对于一个节点i，其左边的那些节点，必定为它的左儿子或其祖先的儿子。

a数组储存分数。

状态：dp[i][j]表示在i至j的范围内的最优解，father[i][j]表示当i至j为最优解时的父亲节点（前序遍历有用）。

方程：dp[i][j]=max{dp[i][k-1]*dp[k+1][j]+ a[k]}(i<=k<=j)记得同时在必要的时候更新father[i][j]。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
int n,a[40],dp[40][40],father[40][40],shunxu[40],shu=0;
void find(int le,int ri);
int main()
{
    cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		dp[i][i]=a[i];
		dp[i][i-1]=1;
	}
	for(int kuan=2;kuan<=n;kuan++){
		for(int i=1;i<=n-kuan+1;i++){
			for(int k=i;k<=i+kuan-1;k++){
				if(dp[i][i+kuan-1]<dp[i][k-1]*dp[k+1][i+kuan-1]+a[k]){
				   dp[i][i+kuan-1]=dp[i][k-1]*dp[k+1][i+kuan-1]+a[k];
					father[i][i+kuan-1]=k;
				}
			}
		}
	}
	cout<<dp[1][n]<<endl;
	find(1,n);
	for(int i=1;i<=shu;i++)
		cout<<shunxu[i]<<" ";
		cout<<endl;
    return 0;
}
void find(int le,int ri)
{
	if(le>ri)return;
	if(le==ri){shunxu[++shu]=le;return;}
	shunxu[++shu]=father[le][ri];
	find(le,father[le][ri]-1);
	find(father[le][ri]+1,ri);
}