2024浙江省赛 J. Even or Odd Spanning Tree

一道对次小生成树的考察，首先我们可以确定的是最小生成树肯定是其中一个答案，现在假设最小生成树的权值和 $cost(T)$ 是奇数,那么我们只要求偶数的答案即可，最小的偶数权值和 $cost(T^{\prime })$ 我们知道一定比 $cost(T)$ 大，那我们自然可以想到求严格次小生成树，但是求严格次小生成树只能保证一定比 $cost(T)$ 大，但是不能保证是偶数。我们回顾一下次小生成树的求法，考虑加入 $x-y$ 这一条边，会构成一个环，我们选取最小生成树上 $x-y$ 路径上权值最大的一条边，替换它，更新答案(如果要求严格的话这一步可能求出来的和最小生成树一样，那就要维护次大边，替换次大边) ,为了保证是偶数，我们不妨分开维护奇数和偶数，分别维护 $x-y$ 路径上奇数边权的最大和次大边，偶数边权的最大和次大边，那么每次尝试替换的时候，如果这条边是奇数，我就去查询最小生成树上偶数边权的最大和次大，偶数同理，那么本题即可解决.
这题还有一个corner case，有可能没有次小生成树或者最小生成树

#pragma GCC optimize(3,"Ofast","inline")
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using i64 = long long;
using i128 = __int128;
#define int long long

constexpr int maxn = 5e5+10;
constexpr i64 inf = 1e18;
template <typename T>struct Edge{
    int u,v;
    T w;
    Edge()=default;
    Edge(int u,int v,T w):u(u),v(v),w(w){}
    bool operator<(const Edge &other)const{
        return w<other.w;
    }  
};
using edge = Edge<i64>;

static constexpr int LOG = 22;
static constexpr int NEG_INF = numeric_limits<int>::min();

class Tr {
private:
    struct Edge {
        int to, nxt, val;
    };

    vector<Edge> e;
    vector<int> head;
    int cnt;

    vector<array<int, LOG>> fa;
    vector<int> dep;
    // 到祖先的路径上边权最大的边
    vector<array<array<int,2>, LOG>> max1;
    // 到祖先的路径上边权次大的边，若不存在则为 -INF
    vector<array<array<int,2>, LOG>> max2;

public:
    // 构造函数：传入节点数 n，初始化各个数组的大小和默认值
    Tr(int n)
        : head(n+1, -1), dep(n+1, 0), fa(n+1), max1(n+1), max2(n+1), cnt(0) {
        e.reserve(2 * n);
        for (int i = 0; i <= n; ++i) {
            for (int j = 0; j < LOG; ++j) {
                fa[i][j]   = 0;
                max1[i][j][0] = max1[i][j][1] = NEG_INF;
                max2[i][j][0] = max2[i][j][1] = NEG_INF;
            }
        }
    }

    // 添加有向边
    void addedge(int u, int v, int val) {
        e.push_back({v, head[u], val});
        head[u] = cnt++;
    }

    // 添加无向边
    void insertedge(int u, int v, int val) {
        addedge(u, v, val);
        addedge(v, u, val);
    }

    // DFS 预处理深度、祖先和最大边权
    void dfs(int x, int parent) {
        dep[x] = dep[parent] + 1;
        fa[x][0] = parent;
        max2[x][0][0] = NEG_INF;
        max2[x][0][1] = NEG_INF;
        for (int i = 1; (1 << i) <= dep[x]; ++i) {
            int p = fa[x][i - 1];
            fa[x][i] = fa[p][i - 1];
            array<int, 4> kk = { max1[x][i - 1][0], max1[p][i - 1][0], max2[x][i - 1][0], max2[p][i - 1][0] };
            sort(kk.begin(), kk.end());
            max1[x][i][0] = kk[3];
            int ptr = 2;
            while (ptr >= 0 && kk[ptr] == kk[3]) --ptr;
            max2[x][i][0] = (ptr >= 0 ? kk[ptr] : NEG_INF);

            kk = { max1[x][i - 1][1], max1[p][i - 1][1], max2[x][i - 1][1], max2[p][i - 1][1] };
            sort(kk.begin(),kk.end());
            max1[x][i][1] = kk[3];
            ptr=2;
            while(ptr>=0&&kk[ptr]==kk[3])--ptr;
            max2[x][i][1] = (ptr>=0?kk[ptr]:NEG_INF);
        }

        for (int idx = head[x]; idx != -1; idx = e[idx].nxt) {
            int to = e[idx].to;
            if (to == parent) continue;
            max1[to][0][e[idx].val&1] = e[idx].val;
            dfs(to, x);
        }
    }

    // 求最近公共祖先
    int lca(int a, int b) const {
        if (dep[a] < dep[b]) swap(a, b);
        for (int i = LOG - 1; i >= 0; --i) {
            if (dep[a] - (1 << i) >= dep[b]) a = fa[a][i];
        }
        if (a == b) return a;
        for (int i = LOG - 1; i >= 0; --i) {
            if (fa[a][i] != fa[b][i]) {
                a = fa[a][i];
                b = fa[b][i];
            }
        }
        return fa[a][0];
    }

    // 查询从 a 到 ancestor 路径上最大的边权（排除值为 val 的边）
    int query(int a, int ancestor, int val,int k) const {
        int res = NEG_INF;
        int diff = dep[a] - dep[ancestor];
        for (int i = LOG - 1; i >= 0; --i) {
            if (diff & (1 << i)) {
                if (max1[a][i][k] != val) res = max(res, max1[a][i][k]);
                else                res = max(res, max2[a][i][k]);
                a = fa[a][i];
            }
        }
        return res;
    }
};

edge e[maxn];
bool use[maxn];
int fa[maxn],n,m;
i64 sum = 0;;
int find(int x){
    return x==fa[x]?x:fa[x] = find(fa[x]);
}
bool merge(int x,int y){
    int fx = find(fa[x]),fy = find(fa[y]);
    if(fx==fy) return 0;
    fa[fy] = fx;
    return 1;
}

bool kruskal(Tr &tr){
    sort(e+1,e+m+1);
    int c = 0;
    for(int i = 1;i<=n;++i) fa[i]=i;
    for(int i = 1;i<=m;++i){
        if(merge(e[i].u,e[i].v)){
            sum+=e[i].w;
            use[i]=true;
            tr.insertedge(e[i].u,e[i].v,e[i].w);
            ++c;
        }
    }
    return c==n-1;
}

void solve(){
    cin>>n>>m;
    sum = 0;
    for(int i = 1;i<=m;++i){
        use[i]=0;
        int u,v,w;
        cin>>u>>v>>w;
        e[i] = Edge(u,v,(i64)w);
    }
    Tr tr(n+100);
    bool flag =kruskal(tr);
    array<i64,2> ANS={{inf,inf}};
    if(flag==0){
        cout<<-1<<" "<<-1<<"\n";
        return;
    }
    ANS[sum&1] = sum;
    int kk = (sum&1)^1;
    i64 ans = inf;
    tr.dfs(1,0);
    for(int i = 1;i<=m;++i){
        if(!use[i]){
            int lca = tr.lca(e[i].u,e[i].v);
            int sx = e[i].w&1;
            i64 tmpa = tr.query(e[i].u,lca,e[i].w,sx^1);
            i64 tmpb = tr.query(e[i].v,lca,e[i].w,sx^1);
            if(max(tmpa,tmpb)>0){
                ANS[kk] = min(ANS[kk],sum-max(tmpa,tmpb)+e[i].w);
            }
        }
    }
    cout<<(ANS[0]==inf?-1:ANS[0])<<" "<<(ANS[1]==inf?-1:ANS[1])<<"\n";
}

signed main(){
    ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);
    int t=1;
    cin>>t;
    while(t--) solve();
    return 0;
}