The 18th Northeast Collegiate Programming Contest H

题目连接

最大值最小，对于套路化的题目来说一般先想二分?(不行试试DP?再试试网络流?),我们先试着二分答案$mid$，考虑如何检查,
题目说可以选择任一点为根，不好考虑我们不妨先选择1作为根节点
因为要让两个点的距离都尽可能的小,所以自然的选取两个节点的LCA会是第一直觉.
设两点间距离是$dis$ ,点x到 LCA 的距离是 $len$ ,首先显然的如果 $dis\le mid$随便选择一个点作为根都是可行的，否则,
对于x来说我们要找到它可以在mid步到达的节点(y同理) 如果$len\le mid$ 那就说明在x到LCA的路径内部就已经会走mid步,就是官方题解中的mid级子树内,否则我们找到距离y 的$dis-mid-1$节点，在这个节点到x之间，x走的步数都不超过mid.这样对于每一对点我们可以知道符合条件的节点是哪些，对这些节点取个交集即可，这里我采用了dfn序+差分求前缀和的方式

至此，我们的check策略就清楚了,对于每一个点对，求出符合条件的节点范围取交集即可,时间复杂度$O(nlog)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using i64 = long long;
using i128 = __int128;

constexpr int maxn = 1e5+10;
int n,m,dep[maxn],fa[maxn][22],LCA[maxn],X[maxn],Y[maxn];//点，边，深度，倍增数组，LCA数组，点x,点y
int l[maxn],r[maxn],idx;//dfn序
vector<int> g[maxn];//树

void dfs(int x,int father){
    dep[x] = dep[father]+1;
    fa[x][0]=father;
    l[x] = ++idx;
    for(int i = 0;i<=20;++i) fa[x][i+1] = fa[fa[x][i]][i];
    for(auto y:g[x]){
        if(y==father) continue;
        dfs(y,x);
    }
    r[x] = idx;
}
int lca(int x,int y){
    if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
    for(int i = 20;i>=0;--i){
        if(dep[fa[x][i]]>=dep[y]){
            x = fa[x][i];
        }
    }
    if(x==y) return x;
    for(int i = 20;i>=0;--i){
        if(fa[x][i]!=fa[y][i]){
            x = fa[x][i];
            y = fa[y][i];
        }
    }
    return fa[x][0];
}

int zx(int x, int k) {//求k级祖先
    for (int i = 0; k; ++i, k >>= 1)
        if (k & 1) x = fa[x][i];
    return x;
}

void solve(){
    cin>>n>>m;
    for(int i = 1;i<=n-1;++i){
        int x,y;
        cin>>x>>y;
        g[x].emplace_back(y);
        g[y].emplace_back(x);
    }
    dfs(1,0);
    for(int i = 1;i<=m;++i){
        cin>>X[i]>>Y[i];
        LCA[i] = lca(X[i],Y[i]);
    }

    auto dis=[&](int x,int y,int z)->int{
        return dep[x]-2ll*dep[z]+dep[y];
    };


    auto check=[&](int mid)->bool{
        int c=0;
        vector<int> cnt(n+10,0);

        auto add = [&](int a, int b) { // 区间[a,b]加1
            if (a > b) return;
            cnt[a]++;
            cnt[b + 1]--;
        };

        auto exclude = [&](int a, int b) { // 补集：区间[1,a-1]和[b+1,n]加1
            add(1, a - 1);
            add(b + 1, n);
        };
        for(int i = 1;i<=m;++i){
            int x = X[i],y = Y[i];
            int dist = dep[x] + dep[y] - 2 * dep[LCA[i]];
            if(dist<=mid) continue;
            else if(dist>2*mid) return 0;
            else{
                int len = dep[x]-dep[LCA[i]];
                if(len>mid){
                    int anc = zx(x,mid);
                    add(l[anc], r[anc]);
                    c++;
                }else{
                    if(dist-mid-1<0) continue;
                    int anc = zx(y,dist-mid-1);
                    exclude(l[anc], r[anc]);
                    c++;
                }
                len = dep[y]-dep[LCA[i]];
                if(len>mid){
                    int anc = zx(y,mid);
                    add(l[anc], r[anc]);
                    c++;
                }else{
                    if(dist-mid-1<0) continue;
                    int anc = zx(x,dist-mid-1);
                    exclude(l[anc], r[anc]);
                    c++;
                }
            }
        }
        if(c==0) return 1;
        int sum = 0;
        for(int i = 1;i<=n;++i){
            sum+=cnt[i];
            if(sum==c) return 1;
        }
        return 0;
    };

    int l = 0,r = maxn;
    while(l<=r){
        int mid = (l+r)>>1;
        if(check(mid)) r = mid-1;
        else l = mid+1;
    }
    cout<<l<<"\n";
}

signed main(){
    ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);
    int t=1;
    //cin>>t;
    while(t--) solve();
    return 0;
}