LuoguP1052[NOIP2005] 过河解题报告【离散化+背包型DP】

最新推荐文章于 2022-04-14 01:42:12 发布

theljt

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分类专栏：单个题解文章标签： c语言 dp 背包算法离散hopfield神经网络手写数字识别源码

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本文介绍了一道经典的算法问题——青蛙过河问题。通过定义状态dp[i]来表示走到第i个位置踩到的石头最小数量，利用动态规划求解青蛙如何越过长度为L的独木桥，并尽量减少踩到石子的数量。考虑到桥长可达10^9，采用离散化处理，压缩石子间距离，最终实现高效求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述
在河上有一座独木桥，一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。在桥上有一些石子，青蛙很讨厌踩在这些石子上。由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整数，我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点：0，1，……，L（其中L是桥的长度）。坐标为0的点表示桥的起点，坐标为L的点表示桥的终点。青蛙从桥的起点开始，不停的向终点方向跳跃。一次跳跃的距离是S到T之间的任意正整数（包括S,T）。当青蛙跳到或跳过坐标为L的点时，就算青蛙已经跳出了独木桥。
题目给出独木桥的长度L，青蛙跳跃的距离范围S,T，桥上石子的位置。你的任务是确定青蛙要想过河，最少需要踩到的石子数。
输入输出格式
输入格式：
输入文件river.in的第一行有一个正整数L（1 <= L <= 10^9），表示独木桥的长度。第二行有三个正整数S，T，M，分别表示青蛙一次跳跃的最小距离，最大距离，及桥上石子的个数，其中1 <= S <= T <= 10，1 <= M <= 100。第三行有M个不同的正整数分别表示这M个石子在数轴上的位置（数据保证桥的起点和终点处没有石子）。所有相邻的整数之间用一个空格隔开。
输出格式：
输出文件river.out只包括一个整数，表示青蛙过河最少需要踩到的石子数。
输入输出样例
输入样例#1：
10
2 3 5
2 3 5 6 7
输出样例#1：
2
说明
对于30%的数据， $L \le 10000$ ；
对于全部的数据， $L \le 10^9$
2005提高组第二题
解题报告
我们定义这道题的状态：dp[i]表示走到第i个位置踩到的石头的最小值。很显然， $dp[i]=min(dp[i-j])+flag[i]( s\le j\le t)$ ， $flag[i]$ 表示第i个位置的石头个数。dp数组的初值赋+inf，dp[0]=0。
又因为 $L \le 10^9$ ，显然不可能开这么大的数组，我们就考虑离散化，压缩两个石子间的距离。我们令mod=2520（1-10的最小公倍数，1<=S<=T<=10），把两个石子间的距离减去其本身对mod去模的值，剩下的值一定不对答案有影响。
代码如下：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int M=1000,mod=2520;
int l,s,t,m,k;
int a[M+5];
int flag[M*mod+5],dp[M*mod+5];
int main()
{
    scanf("%d%d%d%d",&l,&s,&t,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d",&a[i]);
    sort(a+1,a+1+m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        if(a[i]-a[i-1]>mod)k+=(a[i]-a[i-1])-(a[i]-a[i-1])%mod;
        flag[a[i]-k]=1;
    }
    memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
    dp[0]=0;
    for(int i=s;i<=M*mod;i++)
    for(int j=t;j>=s;j--)
    dp[i]=min(dp[i],dp[i-j]+flag[i]);
    printf("%d",dp[M*mod]);
    return 0;
}