数学分析教程 第十四章学习感受

本文详细介绍了数项级数的基本判别法,包括正项级数、交错级数、Dirichlet和Abel判别法等,并深入分析了级数的绝对收敛与条件收敛特性。此外,文章还阐述了级数乘法的概念及其收敛性的判断,最终讨论了无穷乘积的收敛性问题,通过转换为级数求和来解决。

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这一章主要讲的是数项级数,虽然是为函数项级数做铺垫的,但是由于很多技巧性问题,所以其实挺有意思的。
最基础的内容是正项级数的判别法。其中比较判别法是他们的根本,然后通过跟不同的已知收敛的级数(尤其是等比数列)相比较,得出了cauchy判别法和Dalembert判别法。cauchy比Dalembert的范围更广,但是Dalembert更加好用一些。通过比值判别法,启示我们可以跟一些已知的收敛更慢的级数比较,得出Raabe判别法和Gauss判别法,但是由于收敛更慢的级数是找不完的,所以其实判别法也是无穷多的。
任意向级数的判断就要相对复杂一些。但是最基本的交错级数是简单的,主要通项递减趋于0即可。而Dirichlet和Abel判别法讲的都是乘机是否收敛的问题,放在这里似乎稍微有点牵强。
引入绝对收敛和条件收敛以后,判别级数的收敛就变成了先判断是否是绝对收敛,如果不是我们再向其他办法的事。最重要的,是Riemann证明了一件不是很显然的事:条件收敛的级数可以通过交换次序,使其收敛到任意结果。(高中时老师讲无穷项相加不满足交换律,当时一直不明白,直到7年后才明白……)
然后讲了级数的乘法,因为是无穷项的,首先得定义乘法的通项是什么,其中cauchy乘机最常用(也有其他乘积)。然后自然就会提出一个问题:如果第一个级数收敛到A,第二级数收敛到B,那么他们通项的乘机之后求和是否收敛到AB?结论是如果两个级数都绝对收敛,那么不管怎么乘,结果都是对的;如果一个绝对一个条件,那么cauchy乘积也是收敛的。
最后讲了无穷乘积(连乘)是否收敛的问题,但是通过取对数,可以把连乘的问题转化成无穷级数求和的收敛性问题,所以其结论都是这样推广过来的。不再赘述了。
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