无偏估计中贝塞尔系数的由来

对于采样自$X$的独立同分布样本$x_i:i\in [1,n]$，用样本方差$s^2$去估计$X$的方差${\sigma }^2$，为什么要除以$n-1$而不是$n$?

1. 证明用$n$除得到的估计${\hat{\sigma }}^2={\sigma }^2-E[(\bar{X}-\mu {)}^2]$，和无偏估计相比偏小。
   直观解释：因为真实分布的方差计算了所有小概率的样本，样本范围更“广“；而采样的时候对于某些小概率样本点没有采到，所以采得的样本分布更”集中“，所以方差也更”小“。
   https://blog.youkuaiyun.com/Hearthougan/article/details/77859173
   https://www.zhihu.com/question/20099757/answer/26586088
2. 证明$E[(\bar{X}-\mu {)}^2]=var(\bar{X})=var(\frac{\sum X_i}{n})=\frac{1}{n^2}\sum var(X_i)=\frac{1}{n}{\sigma }^2$
   https://math.stackexchange.com/questions/1363505/prove-that-e-overlinex-mu2-frac1n-sigma2
3. 对于第1步得到的最初估计${\hat{\sigma }}^2$，乘上一个放缩因子$\frac{n}{n-1}$，得到无偏估计。

然后去看花书5.4节就能看明白了。