19、时间依赖的Heston模型与有限差分方法

时间依赖的Heston模型与有限差分方法

1. 时间依赖参数模型

首先，我们构建了跨越40个时间段的分段参数，这些参数在相应表格的L列到P列中呈现。Q列包含了BGM（2010）的看跌期权价格，它使用了之前描述的VBA函数 BGMAp - proxPriceTD 来计算。这些价格分别使用了R列和S列中的固定参数$\kappa$和$v_0$，以及T列及后续列中的过去参数值$\theta_t$、$\sigma_t$和$\rho_t$。通过选择所需的到期期限，我们得到了H列中的价格。G列中的价格是Heston封闭形式的看跌期权价格，但使用了表格中第27行到第31行的平均参数值。最后，I列中的价格直接取自BGM（2010）。

2. Black - Scholes 导数

为了得到BGM（2010）在方程（9.26）中的近似看跌期权价格，我们需要Black - Scholes看跌期权的高阶导数。标准正态密度$\phi(x) = \frac{e^{-\frac{x^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}}$的导数为$\phi_x(x) = -x\phi(x)$。以下是一些容易验证的导数：
- $f_x = g_x = -y^{-\frac{1}{2}}$
- $g_y = -\frac{1}{2}y^{-1}f$
- $f_y = -\frac{1}{2}y^{-1}g$

对于$\Phi(f)$和$\phi(f)$的导数，有：
- $\Phi(f) x = -\phi(f)y^{-\frac{1}{2}}$
- $\phi(f)_x = y^{-\frac{1}{2}}f\phi(f