15、美式期权定价：显式方法与Beliaeva - Nawalkha二叉树模型

美式期权定价：显式方法与Beliaeva - Nawalkha二叉树模型

在金融领域，美式期权定价是一个重要的研究课题。本文将介绍显式方法在美式看跌期权定价中的应用，以及Beliaeva - Nawalkha提出的双变量树模型，并给出相关的VBA代码实现。

1. 显式方法定价美式看跌期权

显式方法是一种常用的期权定价方法。通过延续之前的数值示例，使用两种类型的网格来获取价格。结果表明，使用非均匀网格能产生更准确的结果。相关函数和示例可以在Excel文件Ch8Explicit.xls中找到。

2. Beliaeva - Nawalkha双变量树模型

Beliaeva和Nawalkha在2010年为Heston模型开发了一种与路径无关的二维树模型。该模型的核心思想是分别构建股票价格和方差的树，然后将它们重新组合。

2.1 变量变换

首先，构建了一个不相关的双变量过程$(Y_t, v_t)$，其中：
- $Y_t = \ln S_t - \frac{\rho}{\sigma}v_t - h_t$
- $h_t = (r - \frac{\rho\kappa\theta}{\sigma})t$

给定$Y_t$的值，可以通过反变换$S_t = \exp(Y_t + \frac{\rho}{\sigma}v_t + h_t)$恢复股票价格。

同时，定义了变换后的方差$x_t = \frac{2\sqrt{v_t}}{\sigma}$，并通过反变换$v_t = \frac{1}{4}x_t^2\sigma^2$恢复方差。

2.2 方差的三项式树