58、线性方程组求解算法：红黑排序迭代法与共轭梯度法

线性方程组求解算法：红黑排序迭代法与共轭梯度法

1. 红黑排序迭代法

1.1 高斯 - 赛德尔迭代法

对于线性方程组，利用红黑排序可以采用迭代求解方法，高斯 - 赛德尔迭代法是其中一种。该方法基于矩阵 $\hat{A}$ 的分裂形式 $\hat{A} = \hat{D} - \hat{L} - \hat{U}$，其中：
- $\hat{D} =
\begin{pmatrix}
D_R & 0 \
0 & D_B
\end{pmatrix}$
- $\hat{L} =
\begin{pmatrix}
0 & 0 \
-E & 0
\end{pmatrix}$
- $\hat{U} =
\begin{pmatrix}
0 & -F \
0 & 0
\end{pmatrix}$

迭代步骤 $k$ 可表示为：
$\begin{pmatrix}
D_R & 0 \
E & D_B
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_R^{(k + 1)} \
x_B^{(k + 1)}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
b_1 \
b_2
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
0 & F \
0 & 0
\end{p