58、线性方程组求解算法：从迭代法到共轭梯度法

线性方程组求解算法：从迭代法到共轭梯度法

1. 红黑排序的迭代方法

在处理线性方程组时，红黑排序是一种有效的策略，它可以结合迭代法来求解。这里主要介绍基于红黑排序的高斯 - 赛德尔迭代法和逐次超松弛（SOR）方法。

1.1 红黑系统的高斯 - 赛德尔迭代法

高斯 - 赛德尔迭代法求解线性方程组（8.46）时，基于矩阵 $\hat{A}$ 的分裂形式 $\hat{A} = \hat{D} - \hat{L} - \hat{U}$，其中：
- $\hat{D} =
\begin{pmatrix}
D_R & 0 \
0 & D_B
\end{pmatrix}$ 是对角矩阵。
- $\hat{L} =
\begin{pmatrix}
0 & 0 \
-E & 0
\end{pmatrix}$ 是下三角矩阵。
- $\hat{U} =
\begin{pmatrix}
0 & -F \
0 & 0
\end{pmatrix}$ 是上三角矩阵。

迭代步骤 $k$ 的高斯 - 赛德尔方法可以表示为：
$\begin{pmatrix}
D_R & 0 \
E & D_B
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x^{(k + 1)}_R \
x^{(k + 1)}_B
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
b