28、防止数字货币矿工对矿池发动攻击的博弈论分析

防止数字货币矿工对矿池发动攻击的博弈论分析

1. 勾结矿工的困境

在区块链的挖矿场景中，存在这样一种情况：两个矿工（可以是独立的，也可以来自不同联盟）需要决定是否与攻击者勾结，以破坏另一个矿池的挖矿工作。可能出现两种勾结情况：单个矿工与攻击者勾结，或者多个矿工与攻击者组成联盟。这里主要考虑多个矿工与攻击者勾结的情况，因为这是单个矿工勾结情况的一般形式。

为了分析这种情况，引入了“勾结矿工的困境”这一概念，最初是一个双矿工博弈，之后会扩展到区块链网络中所有矿工参与的 n 矿工博弈，且博弈会进行未知轮数。

在双矿工博弈中，收益情况如下表所示：
| | m(j′ k′, r′ k) - H: 诚实挖矿 | m(j′ k′, r′ k) - D: 不诚实挖矿 |
| — | — | — |
| m(j k, rk) - H: 诚实挖矿 | (0, 0) | (0, Ω) |
| m(j k, rk) - D: 不诚实挖矿 | (Ω, 0) | ( Ω/2, Ω/2 ) |

如果两个矿工都与攻击者勾结，他们各自获得半个单位的效用，即攻击者的预算会在两个矿工之间平均分配。但如果一个矿工勾结而另一个诚实挖矿，勾结的矿工将从攻击者那里获得一个单位的效用。从这个困境可以看出，勾结处于纳什均衡状态，因为矿工为了获得更高的效用往往会选择勾结。不过，由于区块链网络中的挖矿奖励是固定的，攻击者的预算是有限的。

为了解决这个困境，引入了社会理性模型，具体如下：
1. 每个矿池管理者会根据矿工的信任值，使用非均匀概率分布向矿工发出邀请，组建自己的矿池进行工作量证明计算。矿池管理者不仅要最大化矿池的收入，还要保护矿池免受恶意活动的影响。
2. 攻击者则使用有限的预算与矿工勾结，从而破坏目标矿池的工作量证明计算。

在这种情况下，如果一个矿工与攻击者勾结，他在当前轮次可能会获得一些效用，但如果其恶意行为被发现，未来矿池管理者选择他的概率会降低，因为他的声誉值会下降。所以，从长远来看，矿工不与攻击者勾结才是最有利的，因为恶意矿工会失去公众声誉，从而失去许多未来可能获得更大收益的挖矿机会。

2. 重复挖矿博弈

采用了一种能够抵抗重新进入攻击的信任模型，在重复博弈的环境中，矿工们试图通过工作量证明计算、与攻击者勾结或采用不诚实的挖矿策略来最大化自己的效用。

该模型不仅考虑了短期效用函数，还考虑了长期效用函数，使得合作（不与攻击者勾结或不进行任何恶意活动）始终处于纳什均衡状态。模型会奖励诚实的矿工，同时惩罚勾结或不诚实的矿工。为了简化，将行为分为两类：不诚实/勾结为非合作行为，诚实/不勾结为合作行为。

挖矿博弈会进行未知轮数，每个矿工 m(jk,rk) 都有一个公共声誉值 rk，初始值为 0，范围在 -1 到 +1 之间。每个矿工的行动 𝛼j 属于 {H, D, ⊥}，其中 H 表示诚实挖矿，D 表示不诚实挖矿，⊥ 表示矿工 m(jk,rk) 在当前轮次未被任何矿池管理者 M(i,pi) 选中。每个矿工通过计算长期效用函数 uj 和实际效用函数 u′ j 来选择自己的行动。每一轮博弈包含一系列的区块验证，例如验证一定数量的区块或经过一定时间。

具体流程如下：
1. 假设对矿工类型（诚实、不诚实和新矿工）有一个非均匀概率分布，每个矿池管理者 M(i,pi) 在每一轮博弈中根据这个分布向部分矿工发出邀请。
2. 每个矿工 m(jk,rk) 计算自己的长期效用 uj，然后从行动集中选择新的行动，即采用诚实或不诚实的挖矿策略。
3. 每个矿工 m(jk,rk) 在每一轮博弈结束时，根据工作量证明的结果获得短期效用 u′ j，即实际奖励。
4. 使用声誉系统根据每个矿工或联盟的行为公开更新被选中矿工/联盟矿工的声誉值 rk。

下面是重复挖矿博弈的流程图：

graph TD;
    A[开始新一轮博弈] --> B[矿池管理者发邀请];
    B --> C[矿工计算长期效用];
    C --> D[矿工选择行动];
    D --> E[进行挖矿及区块验证];
    E --> F[计算短期效用];
    F --> G[更新声誉值];
    G --> A;

3. 勾结矿工的偏好

为了更准确地分析矿工的行为，定义了一些变量：
- uj(⃗a) 表示矿工 m(jk,rk) 在结果 ⃗a 中的长期效用，考虑了当前和未来的博弈。
- u′ j(⃗a) 表示矿工 m(jk,rk) 在当前博弈结果 ⃗a 中的短期效用。
- dj(⃗a) ∈{0, 1} 表示矿工 m(jk,rk) 在当前博弈中是否采用了不诚实的挖矿策略。
- Δ(⃗a) = ∑ i dj(⃗a) 表示使用不诚实挖矿策略的矿工总数。
- r⃗a k(p) 表示矿工 m(jk,rk) 在时期 p 的结果 ⃗a 之后的声誉。

矿工的偏好如下：
1. 如果 di(⃗a) = di(⃗a′) 且 r⃗a k(p) > r⃗a′ k (p)，则 uj(⃗a) > uj(⃗a′)。这意味着每个矿工 m(jk,rk) 无论采用诚实还是不诚实的挖矿策略，都希望长期保持较高的声誉值，因为这样有可能获得更高的长期效用。
2. 如果 di(⃗a) > di(⃗a′)，则 u′ j(⃗a) > u′ j(⃗a′)。即如果一个矿工采用不诚实的挖矿策略，他会从攻击者那里获得短期效用。
3. 如果 di(⃗a) > di(⃗a′) 且 Δ(⃗a) < Δ(⃗a′)，则 u′ j(⃗a) > u′ j(⃗a′)。也就是说，如果矿工采用不诚实的挖矿策略，并且在结果 ⃗a 中不诚实矿工的总数少于结果 ⃗a′ 中不诚实矿工的总数，那么该矿工在结果 ⃗a 中会获得更高的短期效用。

4. 勾结矿工的效用

在这个模型中，长期效用函数 ui 是基于每个矿工 m(jk,rk) 考虑当前和未来博弈可能获得或损失的效用计算的，会考虑所有上述提到的效用偏好。而短期效用函数 u′ i 仅根据给定时间间隔内的当前收益或损失计算，主要考虑后两个效用偏好。

设 𝜑j 是由每个矿池管理者 M(i,pi) 根据矿工 m(jk,rk) 的声誉值 rk 确定的奖励因子，𝛿j(⃗a) = r⃗a k(p) - r⃗a k(p - 1) 是两个连续声誉值的差值。如果在时期 p 选择的行动是 H（诚实挖矿），则 𝜏j = |𝛿j(⃗a)|∕𝛿j(⃗a) 为正；如果是 D（不诚实挖矿），则为负。设 Ω > 0 为一个效用单位，例如 50 美元。

为了满足矿工的偏好，通过以下线性组合计算长期效用 uj(⃗a)：
uj(⃗a) = Ω ( 𝜏j𝜑j + dj(⃗a) + dj(⃗a) / (Δ(⃗a) + 1) )

实际效用 u′ j(⃗a) 只包含第二和第三项，即 u′ j(⃗a) = Ω(dj(⃗a) + dj(⃗a) / (Δ(⃗a) + 1))。效用函数的第一项表示矿工 m(jk,rk) 由于其声誉值 rk 反映的行为，在未来博弈中会获得或损失 𝜑i 单位的效用。第二项表示如果矿工在当前博弈中采用不诚实的挖矿策略或与攻击者勾结，会获得一个单位的效用，否则会失去这个机会。最后一项表示几乎一个单位的效用会在所有不诚实的矿工之间分配。

5. 模型的博弈论分析

通过博弈论分析来评估这个基于声誉的挖矿范式。首先考虑两个矿工之间的 (2, 2) 博弈，证明在这个模型中诚实挖矿总是优于不诚实挖矿，然后将分析扩展到 n 个矿工之间的 (n, n) 博弈。

定理 1 ：在两个矿工之间的 (2, 2) 博弈中，当使用上述定义的效用函数 uj(⃗a) 时，诚实挖矿 H 严格优于不诚实挖矿 D。
证明 ：计算 m(jk,rk) 在各种结果下的 uj，设 m(j′k′,rk′) 为另一个矿工。
1. 如果两个矿工都采用诚实挖矿策略，𝛿j 为正，dj = 0，Δ = 0，则 u(H, H) j = Ω𝜑j。
2. 如果只有 m(jk,rk) 采用诚实挖矿策略，𝛿j 为正，dj = 0（因为 m(jk,rk) 未勾结），Δ = 1（因为 m(j′k′,rk′) 采用了不诚实挖矿策略），则 u(H, D) j = Ω𝜑j。
3. 如果只有 m(j′k′,rk′) 采用诚实挖矿策略，𝛿j 为负，dj = 1（因为矿工 m(jk,rk) 采用了不诚实挖矿策略），Δ = 1，则 u(D, H) j = Ω(−𝜑j + 1.50)。
4. 如果两个矿工都采用不诚实挖矿策略，𝛿j 为负，dj = 1，Δ = 2（因为两个矿工都勾结了），则 u(D, D) j = Ω(−𝜑j + 1.33)。

如果奖励因子 𝜑i ≥1.5（由每个矿池管理者 M(i,pi) 定义），可以得到以下收益不等式，证明了该定理：
u(H, H) j (⃗a) = u(H, D) j (⃗a) > u(D, H) j (⃗a) > u(D, D ) j (⃗a)

当 𝜑i 至少为 1.5 时，收益矩阵如下：
| | m(j′ k′, r′ k) - H: 诚实挖矿 | m(j′ k′, r′ k) - D: 不诚实挖矿 |
| — | — | — |
| m(j k, rk) - H: 诚实挖矿 | (1.5, 1.5) | (1.5, 0) |
| m(j k, rk) - D: 不诚实挖矿 | (0, 1.5) | (-0.17, -0.17) |

从这个矩阵可以看出，在基于声誉的挖矿范式中，诚实挖矿始终处于纳什均衡状态。

定理 2 ：在 n 个矿工之间的 (n, n) 博弈中，当使用上述定义的效用函数 uj(⃗a) 时，诚实挖矿 H 严格优于不诚实挖矿 D。
证明 ：计算不同场景下每个结果的效用。设 n > k ≥2。
1. 如果所有矿工都采用诚实挖矿策略，或者 m(jk,rk) 和 k - 1 个矿工采用诚实挖矿策略，或者只有 m(jk,rk) 进行诚实挖矿，此时 𝛿j 为正，dj = 0，Δ ∈s = {0, n - k, n - 1}，则 u (Hj,H−j) j = u (Hj,−j) j = u (Hj, D−j) j = Ω𝜑j。
2. 如果只有 m(jk,rk) 采用不诚实挖矿策略，𝛿j 为负，dj = 1，Δ = 1，则 u (Dj,H−j) j = Ω(−𝜑j + 1.5)。
3. 如果 m(jk,rk) 以及 k - 1 个矿工采用不诚实挖矿策略，其余矿工采用诚实挖矿策略，𝛿j 为负，dj = 1，Δ = k，则 u (Dj,−j) j = Ω ( −𝜑j + (k + 2) / (k + 1) )。
4. 如果所有矿工都采用不诚实挖矿策略，𝛿j 为负，dj = 1，Δ = n（因为没有人进行诚实挖矿），则 u (Dj, D−j) j = Ω ( −𝜑j + (n + 2) / (n + 1) )。

分析可知，当 n > k ≥2 时，1.5 > (k + 2) / (k + 1) > (n + 2) / (n + 1)。同样，如果假设 𝜑i 至少为 1.5，诚实挖矿或不与攻击者勾结始终处于纳什均衡状态。因此，无论其他矿工采取什么行动，矿工 m(jk,rk) 采用诚实挖矿策略总是最有利的，即 u (H j,∗−j) j (⃗a) > u (Dj,∗−j) j (⃗a)。

综上所述，这个基于声誉的挖矿范式为解决区块链挖矿中的不诚实问题提供了一种有效的方法。通过引入声誉机制和考虑长期效用，能够促使矿工选择诚实挖矿，维护区块链网络的安全和稳定。未来可以通过基于比特币网络的真实数据进行模拟实验，进一步验证和完善这个模型。

防止数字货币矿工对矿池发动攻击的博弈论分析

6. 总结与展望

在区块链的挖矿体系中，不诚实挖矿行为，如区块扣留攻击、自私挖矿、日食攻击和顽固挖矿等，对矿池和整个网络的安全与稳定构成了严重威胁。为应对这一问题，提出了基于声誉的挖矿范式。

该范式构建了一个由矿池管理者和矿工参与的重复博弈场景。在这个场景中，每个矿工或挖矿联盟的声誉值通过抗重新进入攻击的信任管理方案持续被评估。每一轮博弈里，矿池管理者依据矿工声誉的非均匀概率分布，仅向部分矿工发出邀请。每一轮博弈包含一系列的区块验证过程，可依据验证一定数量的区块或经过一定时间来界定。

通过博弈论分析证明，在这个基于声誉的挖矿范式下，诚实挖矿处于纳什均衡状态。这意味着，即便矿工可能通过不诚实挖矿获取短期利益，但从长远来看，考虑到长期效用函数对其整体效用的影响，选择诚实挖矿才是更优策略。

未来，可通过模拟实验的方式，利用比特币网络的真实数据来实现这个博弈模型。这将有助于进一步验证模型的有效性和实用性，为区块链网络的安全和稳定提供更坚实的保障。

下面总结一下整个模型的关键要点：
1. 勾结矿工的困境 ：双矿工博弈中，勾结看似能带来短期高收益，但从长期声誉影响看，不勾结才是更优选择。
2. 重复挖矿博弈 ：通过长期和短期效用函数的结合，引导矿工选择诚实挖矿，每轮博弈有明确的流程和声誉更新机制。
3. 矿工偏好与效用 ：明确了矿工在不同情况下对长期和短期效用的偏好，并给出了相应的效用计算公式。
4. 博弈论分析 ：在 (2, 2) 博弈和 (n, n) 博弈中，都证明了诚实挖矿严格优于不诚实挖矿，只要奖励因子满足一定条件。

为了更直观地展示整个模型的流程，下面给出一个综合的流程图：

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px
    classDef decision fill:#FFF6CC,stroke:#FFBC52,stroke-width:2px

    A([开始]):::startend --> B(矿池管理者根据声誉发邀请):::process
    B --> C(矿工计算长期效用):::process
    C --> D{选择行动}:::decision
    D -->|诚实挖矿| E(进行诚实挖矿及区块验证):::process
    D -->|不诚实挖矿| F(进行不诚实挖矿及区块验证):::process
    E --> G(计算短期效用):::process
    F --> G
    G --> H(更新声誉值):::process
    H --> I{是否结束博弈}:::decision
    I -->|否| B
    I -->|是| J([结束]):::startend

同时，为了方便对比不同情况下矿工的收益，再次给出 (2, 2) 博弈的收益矩阵：
| | m(j′ k′, r′ k) - H: 诚实挖矿 | m(j′ k′, r′ k) - D: 不诚实挖矿 |
| — | — | — |
| m(j k, rk) - H: 诚实挖矿 | (1.5, 1.5) | (1.5, 0) |
| m(j k, rk) - D: 不诚实挖矿 | (0, 1.5) | (-0.17, -0.17) |

通过以上的分析和总结，可以清晰地看到基于声誉的挖矿范式在解决区块链挖矿不诚实问题上的潜力和优势。随着区块链技术的不断发展，这种范式有望进一步完善和应用，为构建更加安全、稳定的区块链网络奠定基础。