递归与分治策略
1 递归的基础概念
递归是一种解决问题的方法,它将一个问题分解为更小的子问题,直到这些子问题足够简单可以直接解决。递归的核心在于函数调用自身,这使得递归成为一种强大的工具,但也增加了问题的复杂性。理解递归的关键在于掌握两个基本要素:基准情况(base case)和递归步骤(recursive step)。
1.1 基准情况
基准情况是递归终止的条件。当满足基准情况时,递归不再继续调用自身,而是返回一个确定的结果。例如,在计算阶乘时,基准情况是 factorial(0) 或 factorial(1) ,这两个情况直接返回1。
1.2 递归步骤
递归步骤是指如何将问题分解为更小的子问题。例如,计算 factorial(n) 可以分解为 n * factorial(n-1) 。递归步骤必须保证每次调用时问题的规模都在减小,直到达到基准情况。
1.3 递归函数的工作原理
递归函数通过函数调用栈来保存每一次调用的状态。每次递归调用都会创建一个新的栈帧,保存当前函数的参数和局部变量。当基准情况满足时,递归调用开始返回,栈帧依次弹出,最终得到结果。
2 递归的应用
递归广泛应用于许多编程问题中,尤其是那些可以通过将问题分解为相似的小问题来解决的情况。下面通过几个经典例子来展示递归的应用。
2.1 阶乘
阶乘是一个经典的递归问题。计算 n! 可以通过以下递
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