6、递归与分治策略

递归与分治策略

1 递归的基础概念

递归是一种解决问题的方法，它将一个问题分解为更小的子问题，直到这些子问题足够简单可以直接解决。递归的核心在于函数调用自身，这使得递归成为一种强大的工具，但也增加了问题的复杂性。理解递归的关键在于掌握两个基本要素：基准情况（base case）和递归步骤（recursive step）。

1.1 基准情况

基准情况是递归终止的条件。当满足基准情况时，递归不再继续调用自身，而是返回一个确定的结果。例如，在计算阶乘时，基准情况是 factorial(0) 或 factorial(1) ，这两个情况直接返回1。

1.2 递归步骤

递归步骤是指如何将问题分解为更小的子问题。例如，计算 factorial(n) 可以分解为 n * factorial(n-1) 。递归步骤必须保证每次调用时问题的规模都在减小，直到达到基准情况。

1.3 递归函数的工作原理

递归函数通过函数调用栈来保存每一次调用的状态。每次递归调用都会创建一个新的栈帧，保存当前函数的参数和局部变量。当基准情况满足时，递归调用开始返回，栈帧依次弹出，最终得到结果。

2 递归的应用

递归广泛应用于许多编程问题中，尤其是那些可以通过将问题分解为相似的小问题来解决的情况。下面通过几个经典例子来展示递归的应用。

2.1 阶乘

阶乘是一个经典的递归问题。计算 n! 可以通过以下递