9、统计推断与梯度下降：原理、应用及注意事项

统计推断与梯度下降：原理、应用及注意事项

1. 假设检验基础

在统计推断中，假设检验是一项重要的技术。以抛硬币为例，我们通常会设定原假设 (H_0)，比如硬币是公平的，即正面朝上的概率 (p = 0.5)。如果 (H_0) 为真，那么大约 20 次检验中会有 19 次得到正确结果。

同时，我们也关注检验的功效，即不犯第二类错误（“假阴性”）的概率。当 (H_0) 为假时，我们却未能拒绝它，就犯了第二类错误。为了衡量功效，我们需要明确 (H_0) 为假的具体含义。例如，当 (p = 0.55) 时，硬币稍微偏向正面。此时，我们可以通过以下步骤计算检验的功效：

# 95% bounds based on assumption p is 0.5
lo, hi = normal_two_sided_bounds(0.95, mu_0, sigma_0)
# actual mu and sigma based on p = 0.55
mu_1, sigma_1 = normal_approximation_to_binomial(1000, 0.55)
# a type 2 error means we fail to reject the null hypothesis,
# which will happen when X is still in our original interval
type_2_probability = normal_probability_between(lo, hi, mu_1, sigma_1)
power = 1 - type_2_probability      # 0.887
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