5、模式分类中的线性分类器与多类分类方法

模式分类中的线性分类器与多类分类方法

在模式分类领域，线性分类器是一种基础且重要的工具。它通过各种损失函数来训练模型，以实现对样本的准确分类。同时，对于多类分类问题，也有相应的解决策略。下面将详细介绍线性分类器的几种损失函数以及多类分类的一种方法。

线性分类器的损失函数

线性分类器的训练依赖于合适的损失函数，不同的损失函数具有不同的特点和应用场景。

铰链损失（Hinge Loss）

• 原理 ：铰链损失的基本思想不仅是训练分类器，还在于增加样本的间隔。样本 $x$ 到决策边界的归一化距离为 $\frac{|f(x)|}{|w|}$，样本的间隔通过 $(wx^T)y$ 计算，其中 $y$ 是样本 $x$ 的对应标签。间隔能反映样本分类的正确性。
• 公式 ：铰链损失函数的表达式为 $L_{hinge}(w) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \max(0, a - wx_i^T y_i)$，其中 $y_i \in {-1, 1}$ 是训练样本 $x_i$ 的标签。当 $w x_i$ 和 $y_i$ 符号相同时，求和运算符内的项返回 0；符号不同时，该项等于 $a - wx_i^T y_i$，增加损失值。若 $wx_i^T y_i < a$，表示 $x$ 在模型的临界区域内，损失值会增加。
• 优化 ：通过最小化该损失函数，可以得到具有最大间隔和高精度的模型。铰链损失在 $wx_i^T y_i = a$ 处不连续且不可微，理论上更适合使用基于次梯度的方法进行优化，但在实