13、随机梯度下降算法详解

随机梯度下降算法详解

在机器学习领域，优化算法起着至关重要的作用，它们帮助我们找到模型的最优参数，从而提高模型的性能。随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent，SGD）就是这样一种强大且常用的优化算法。本文将深入探讨随机梯度下降算法及其相关概念。

1. 学习目标与传统方法回顾

学习的目标通常是最小化风险函数 $L_D(w) = E_{z \sim D}[\ell(w, z)]$，但由于我们不知道分布 $D$，无法直接最小化该风险函数。之前我们讨论过基于经验风险的学习方法，如经验风险最小化（ERM），即先采样一个训练集 $S$，定义经验风险函数 $L_S(w)$，然后根据 $L_S(w)$ 的值选择假设。还有正则化风险最小化，它联合最小化 $L_S(w)$ 和正则化函数。

2. 梯度下降算法

在介绍随机梯度下降之前，我们先了解一下标准的梯度下降算法，它用于最小化可微凸函数 $f(w)$。

2.1 梯度的定义

对于可微函数 $f: R^d \to R$ 在 $w$ 处的梯度，记为 $\nabla f(w)$，它是 $f$ 的偏导数向量，即 $\nabla f(w) = (\frac{\partial f(w)}{\partial w[1]}, \cdots, \frac{\partial f(w)}{\partial w[d]})$。

2.2 梯度下降算法步骤

梯度下降是一种迭代算法，具体步骤如下：
1. 初始化 $w$ 的值，例如 $w^{(1)} = 0$。
2. 在每次迭代中，沿着当前点梯度的负方向更新 $w$，更新规则