10、模型选择与验证：从理论到实践的全面指南

模型选择与验证：从理论到实践的全面指南

1. 模型选择的重要性与挑战

在机器学习中，当我们面对一个实际问题时，通常会有多种算法可供选择，而每种算法又可能有多个参数。如何为特定问题选择最佳算法以及如何设置算法参数，这一任务被称为模型选择。

以一维回归函数学习问题为例，我们可以考虑用多项式拟合数据。但对于多项式的次数 (d)，我们可能不确定哪个值能为数据集带来最佳结果。低次数的多项式可能无法很好地拟合数据，导致较大的近似误差；而高次数的多项式则可能过拟合，产生较大的估计误差。从拟合不同次数多项式的结果来看，经验风险会随着次数的增加而降低，但这并不意味着高次数多项式就是更好的选择。例如，虽然 10 次多项式的经验风险小于 3 次多项式，但我们的直觉告诉我们 3 次多项式可能更好。这表明仅依靠经验风险进行模型选择是不够的。

2. 基于 SRM 的模型选择

SRM（结构风险最小化）范式是一种有效的模型选择方法。它适用于学习算法依赖于控制偏差 - 复杂度权衡的参数的情况，比如多项式回归中的多项式次数或 AdaBoost 算法中的参数 (T)。

考虑一个可数的假设类序列 (H_1, H_2, H_3, \cdots)。例如，在多项式回归问题中，(H_d) 可以是次数至多为 (d) 的多项式集合；在 AdaBoost 中，(H_d) 可以是 (L(B, d)) 类。假设对于每个 (d)，类 (H_d) 具有一致收敛性，其样本复杂度函数形式为：
[m_{UC}^{H_d}(\epsilon, \delta) \leq \frac{g(d) \log(1/\delta)}{\epsilon^2}]
其中 (g : N \to R) 是一