47、物理信息机器学习：方法与应用

物理信息机器学习：方法与应用

1. 物理信息机器学习概述

物理信息机器学习将机器学习的多个关键方面结合起来，用于解决科学和工程中的建模问题。机器学习过程可分为以下关键阶段，每个阶段都提供了嵌入或强化先验物理知识的机会：
1. 制定待建模的问题。
2. 收集和整理用于训练模型的数据。
3. 选择最能表示或建模数据的架构。
4. 设计损失函数，以评估模型性能并指导学习过程。
5. 选择并实施优化算法，在训练数据上训练模型以最小化损失函数。

神经网络在这些技术的整体工作流程中经常被使用，用 $f_θ(x)$ 表示，其中 $θ$ 是神经网络的权重，$f(·)$ 表征网络架构（层数、结构、正则化器）。权重 $θ$ 被优化以最小化训练数据 $X$ 上的损失函数：
$θ^* = argmin_θ L(θ, X)$

简约性长期以来一直是物理建模的指导原则，倾向于使用最简单的模型来描述数据，以避免过拟合并促进泛化。在现代机器学习中，简约性仍然是构建可解释和可泛化模型的指导原则，可通过以下方式实现：
1. 低维坐标系。
2. 控制方程的稀疏表示。
3. 捕捉参数依赖性。

2. 数学基础

2.1 数据驱动模型

数据驱动模型是科学和工程领域新兴且重要的范式，为物理系统的虚拟实例化（即数字孪生）提供了基础数学框架。数字孪生与卡尔曼滤波架构集成，结合模型和数据进行预测。这些数据驱动的发现工具通过简单的回归技术实现，有助于构建更具可解释性和泛化能力的模型。

然而，深度神经网络（DNN）架构在学习物理知识时，存在泛化性、可解释性、过拟合