46、参数化降阶模型中的插值方法及相关技术

参数化降阶模型中的插值方法及相关技术

1. 插值方法概述

在构建降阶模型（ROM）时，插值问题是关键。传统的间隙插值方法基于测量空间和全状态重建之间的线性映射。以公式（13.1）为代表，它描述了如何将 r 维（低秩）空间中的测量值与原始 n 维（高维）状态空间相关联。具体而言，若原状态空间在低维子空间中表示为 u = a，那么一系列间隙插值方法就可以用于近似高保真解。

在间隙 POD 公式中，测量矩阵指定了要使用的插值方式：
(\tilde{u} = Pu \approx P\varPhi a) (13.18)
给定测量值 (\tilde{u})、测量矩阵 P 和 POD 模式 ，可以通过最小二乘法计算重建系数：
(a = (P\varPhi)^{\dagger} \tilde{u}) (13.19)
从优化问题的角度来看，这也可以表示为：
(a \in \text{argmin} {\tilde{a}} |\tilde{u} - P\varPhi \tilde{a}|_2^2) (13.20)
这是标准的 POD 重建误差公式。为了稳定 POD 重建，可以对优化公式进行改进，添加弹性网络正则化，即结合 ℓ1 和 ℓ2 惩罚项：
(a \in \text{argmin} {\tilde{a}} |\tilde{u} - P\varPhi \tilde{a}|_2^2 + \lambda_1|\tilde{a}|_1 + \lambda_2|\tilde{a}|_2^2) (13.21)
其中 (\lambda_1) 和 (\lambda_2) 是分别控制 ℓ1 和 ℓ2 范数的超参数，这种方法被称为