44、参数化降阶模型的插值方法

参数化降阶模型的插值方法

1. 引言

在降阶模型（ROMs）的研究中，将偏微分方程（PDE）动力学投影到低秩子空间的方法是核心内容。然而，由于非线性的存在，投影到低秩近似子空间的复杂性仍然是一个挑战。插值与本征正交分解（POD）相结合的方法，为离散（稀疏）采样和评估非线性提供了一种计算高效的途径。这种方法借鉴了稀疏和压缩采样算法的思想，使得少量样本能够重建PDE的低秩动力学。本文主要聚焦于稀疏插值方法，这些方法能够实现ROMs的快速低维构建，在需要频繁更新ROM模型的参数化PDE评估中具有重要应用。

2. 间隙POD方法

非线性模型降阶的成功很大程度上依赖于两个关键创新：
- Galerkin - POD方法 ：用于将高维非线性动力学有原则地投影到低维子空间。
- 状态空间的稀疏采样 ：用于插值子空间投影所需的非线性项。

间隙POD及其变体已经确立了稀疏性作为模型降阶的关键数学框架。早期，Everson和Sirovich提出的稀疏采样技术为间隙POD命名。后来，通过间隙POD基础设施或缺失点估计（MPE）等方法，有原则地选择插值点被纳入ROMs以提高性能。最近，经验插值方法（EIM）及其最成功的变体POD定制离散经验插值方法（DEIM）提供了一种贪心算法，能够实现对原始高维系统非线性项的近乎最优重建。

2.1 稀疏测量与重建

POD提供的低秩近似允许通过对n维状态的r次测量来重建解$u(x, t)$。我们可以定义稀疏表示变量$\tilde{u} \in C^r$：
$\tilde{u} = Pu$