43、基于POD的时间步长神经网络及相关方法在降阶模型中的应用

基于POD的时间步长神经网络及相关方法在降阶模型中的应用

1. 引言

在构建精确的降阶模型（ROM）时，机器学习的出现为其带来了新的数学可能性。传统基于投影的ROM主要关注计算低维子空间，以便将控制方程投影到该子空间上。而神经网络则为时间步长算法的构建提供了新的思路，能够利用时间序列数据来推进解的时间演化。

2. 基于POD的时间步长神经网络

2.1 传统ROM与神经网络的区别

传统基于投影的ROM在构建低维子空间时，使用奇异值分解（SVD）对高保真模拟或实验数据的快照进行处理，即$X ≈ ˜ ˜V∗$，其中POD降维技术仅在降维过程中使用矩阵$$。而时间序列数据编码在$V$中，投影式ROM并未利用这部分信息。神经网络则可以直接利用$V$中的时间序列数据构建时间步长算法。

使用深度学习算法进行时间步长计算的动机在于，基于投影的模型降阶常常会产生不稳定的迭代方案，并且投影方案会忽略低维空间中有价值的时间信息，仅保留POD模式用于ROM构建。神经网络旨在利用这些时间信息，构建高效稳定的时间步长代理。

在传统投影式ROM中，振幅动态$a(t)$通过控制方程的Galerkin投影来构建；而在神经网络中，$a(t)$则从编码在$V$中的离散时间序列数据进行近似。具体来说，在原始数据矩阵的$m$个时间快照上，有：
$a(t) \Rightarrow ˜ ˜V∗ =
\begin{bmatrix}
a_1 \
a_2 \
\cdots \
a_m
\end{bmatrix}$

2.2 深度学习算法构建时间步长映射